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Coq
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Section Session1_2019_Induction_Exercice_3.
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(* Déclaration d’un domaine pour les éléments des listes *)
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Variable A : Set.
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(* Déclaration d'un type liste générique d'éléments de type E *)
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Inductive liste (E : Set) : Set :=
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Nil
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: liste E
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| Cons : E -> liste E -> liste E.
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(* Déclaration du nom de la fonction append *)
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Variable append_spec : forall E : Set, liste E -> liste E -> liste E.
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(* Spécification du comportement de append pour Nil en premier paramètre *)
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Axiom append_Nil : forall E : Set, forall (l : liste E), append_spec E (Nil E) l = l.
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(* Spécification du comportement de append pour Cons en premier paramètre *)
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Axiom append_Cons : forall E : Set, forall (t : E), forall (q l : liste E),
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append_spec E ((Cons E) t q) l = (Cons E) t (append_spec E q l).
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(* Spécification du comportement de append pour Nil en second paramètre *)
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Axiom append_Nil_right : forall E : Set, forall (l : liste E), (append_spec E l (Nil E)) = l.
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(* append est associative à gauche et à droite *)
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Axiom append_associative : forall E : Set, forall (l1 l2 l3 : liste E),
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(append_spec E l1 (append_spec E l2 l3)) = (append_spec E (append_spec E l1 l2) l3).
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(* Déclaration du nom de la fonction flatten *)
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Variable flatten_spec : forall E : Set, liste (liste E) -> liste E.
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(* Spécification du comportement de flatten pour Nil *)
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Axiom flatten_Nil : forall E : Set, flatten_spec E (Nil (liste E)) = (Nil E).
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(* Spécification du comportement de flatten pour Cons *)
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Axiom flatten_Cons : forall E : Set, forall (t : liste E), forall (q : liste (liste E)),
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flatten_spec E (Cons (liste E) t q) = append_spec E t (flatten_spec E q).
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(* Déclaration du nom de la fonction split *)
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Variable split_spec : forall E : Set, liste E -> liste (liste E).
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(* Spécification du comportement de split pour Nil *)
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Axiom split_Nil : forall E : Set, split_spec E (Nil E) = (Nil (liste E)).
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(* Spécification du comportement de split pour Cons *)
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Axiom split_Cons : forall E : Set, forall (t : E), forall (q : liste E),
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split_spec E (Cons E t q) = Cons (liste E) (Cons E t (Nil E)) (split_spec E q).
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(* Cohérence de flatten et de split : flatten(split(l)) = l*)
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Theorem flatten_split_consistency : forall E : Set, forall (l : liste E),
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flatten_spec E (split_spec E l) = l.
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intros.
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induction l.
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rewrite split_Nil.
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rewrite flatten_Nil.
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reflexivity.
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rewrite split_Cons.
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rewrite flatten_Cons.
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rewrite IHl.
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rewrite append_Cons.
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rewrite append_Nil.
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reflexivity.
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Qed.
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(* Implantation de la fonction append *)
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Fixpoint append_impl (E : Set) (l1 l2 : liste E) {struct l1} : liste E :=
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match l1 with
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Nil _ => l2
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| (Cons _ t1 q1) => (Cons E t1 (append_impl E q1 l2))
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end.
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Theorem append_correctness : forall E : Set, forall (l1 l2 : liste E),
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(append_spec E l1 l2) = (append_impl E l1 l2).
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intro TE.
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induction l1.
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intro Hl2.
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rewrite append_Nil.
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simpl.
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reflexivity.
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intro Hl2.
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rewrite append_Cons.
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simpl.
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rewrite IHl1.
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reflexivity.
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Qed.
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(* Implantation de la fonction flatten *)
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Fixpoint flatten_impl (E : Set) (l : liste (liste E)) {struct l} : liste E :=
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match l with
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Nil => Nil
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| (Cons t1 q1) => (Cons t1 (flatten_impl q1 l2))
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end.
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(* Correction de l'implantation de flatten par rapport à sa spécification *)
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Theorem flatten_correctness : forall E : Set, forall (l : liste (liste E)),
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(flatten_spec E l) = (flatten_impl E l).
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Proof.
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(* A COMPLETER *)
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Qed.
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End Session1_2019_Induction_Exercice_3.
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