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Coq
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Section Session1_2020_Induction_Exercice_3.
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(* Déclaration d’un domaine pour les éléments des listes *)
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Variable A : Set.
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Inductive entier : Set :=
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Zero : entier
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| Succ : entier -> entier.
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(* Déclaration du nom de la fonction somme *)
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Variable somme_spec : entier -> entier -> entier.
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(* Spécification du comportement de somme pour Zero en premier paramètre *)
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Axiom somme_Zero : forall (n : entier), somme_spec Zero n = n.
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(* Spécification du comportement de somme pour Succ en premier paramètre *)
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Axiom somme_Succ : forall (n m : entier),
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somme_spec (Succ n) m = Succ (somme_spec n m).
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(* somme est associative à gauche et à droite *)
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Axiom somme_associative : forall (n1 n2 n3 : entier),
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(somme_spec n1 (somme_spec n2 n3)) = (somme_spec (somme_spec n1 n2) n3).
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Inductive liste : Set :=
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Nil
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: liste
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| Cons : A -> liste -> liste.
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(* Déclaration du nom de la fonction append *)
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Variable append_spec : liste -> liste -> liste.
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(* Spécification du comportement de append pour Nil en premier paramètre *)
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Axiom append_Nil : forall (l : liste), append_spec Nil l = l.
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(* Spécification du comportement de append pour Cons en premier paramètre *)
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Axiom append_Cons : forall (t : A), forall (q l : liste),
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append_spec (Cons t q) l = Cons t (append_spec q l).
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(* append est associative à gauche et à droite *)
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Axiom append_associative : forall (l1 l2 l3 : liste),
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(append_spec l1 (append_spec l2 l3)) = (append_spec (append_spec l1 l2) l3).
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(* Déclaration du nom de la fonction taille *)
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Variable taille_spec : liste -> entier.
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(* Spécification du comportement de taille pour Nil en paramètre *)
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Axiom taille_Nil : taille_spec Nil = Zero .
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(* Spécification du comportement de taille pour Cons en paramètre *)
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Axiom taille_Cons : forall (t : A), forall (q : liste),
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taille_spec (Cons t q) = Succ (taille_spec q) .
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(* taille commute avec append *)
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Theorem taille_append : forall (l1 l2 : liste),
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(taille_spec (append_spec l1 l2)) = (somme_spec (taille_spec l1) (taille_spec l2)).
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intros.
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induction l1.
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rewrite append_Nil.
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rewrite taille_Nil.
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rewrite somme_Zero.
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reflexivity.
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rewrite append_Cons.
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rewrite taille_Cons.
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rewrite taille_Cons.
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rewrite somme_Succ.
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rewrite IHl1.
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reflexivity.
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Qed.
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(* Implantation de la fonction taille *)
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Fixpoint taille_impl (l : liste) {struct l} : entier :=
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match l with
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Nil => Zero
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| (Cons t q) => (Succ (taille_impl q))
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end.
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Theorem taille_correctness : forall (l : liste),
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(taille_spec l) = (taille_impl l).
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intros.
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induction l.
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simpl taille_impl.
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rewrite taille_Nil.
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reflexivity.
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simpl taille_impl.
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rewrite taille_Cons.
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rewrite IHl.
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reflexivity.
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Qed.
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End Session1_2020_Induction_Exercice_3.
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