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    top=1.5cm,
    bottom=1.5cm,
    left=1.5cm,
    right=1.5cm
]{geometry}

\setlength{\parskip}{0.2cm}

\begin{document}

\begin{figure}[t]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{inp_n7.png}
\end{figure}

\title{
    \vspace{4cm} 
    \textbf{Compte-rendu de TP} \\
    Introduction aux communications numériques \\
    Étude de l’interférence entre symbole et du critère de Nyquist
}
\author{Laurent Fainsin}
\date{
    \vspace{7cm}
    Département Sciences du Numérique \\
    Première année \\
    2020 — 2021
}

\maketitle

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\tableofcontents

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\section{Étude sans canal de propagation: bloc modulateur/démodulateur}

\subsection{Expliquez comment sont obtenus les instants optimaux d’échantillonnage}

Pour sélectionner l'instant initial $n_0$ optimal à l'échantillonage, on cherche à vérifier la condition de Nyquist. Pour cela on peut tracer $g$ ou le diagramme de l'oeil du signal.

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{g_1_1_trim.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{oeil_1_1_trim.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 1 \label{fig : 1_1}}
\end{figure}

Ainsi, grâce à ces tracés, on remarque que pour vérifier la condition de Nyquist avec une chaine dont la réponse impulsionnelle est
rectangulaire (et sans canal de propagation), il faut $n_0 = 8$.

On cherche plus particulièrement l'instant $n_0$ tel que : \\
$\left\{
    \begin{array}{l}
        g(n_0) \neq 0 \\
        g(n_0 + kN_S) = 0
    \end{array}
\right.$, $n_0 = 8$ est donc conforme à cet instant.

De même sur le diagramme de l'oeil cette vérification s'effectue par la recherche d'un $n_0$ tel que le tracé converge vers deux valeurs uniques (puisque ici nous avons un signal binaire).

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{g_2_1_trim.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{oeil_2_1_trim.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 2 \label{fig : 2_1}}
\end{figure}

Ainsi pour la chaine avec une réponse impulsionnelle
en racine de cosinus surélevé de roll off $\alpha = 0.5$, il faut $n_0 = 1$.

\subsection{Expliquez pourquoi le taux d’erreur binaire n’est plus nul avec $n_0 = 3$}

Si on ne sélectionne pas l'instant optimal trouvé via la question précédente, alors il y a lors de l'échantillonage des interférences inter-symboles qui viennent fausser la phase de décision (puisque la condition de Nyquist n'est pas respectée).

\newpage

\section{Étude avec canal de propagation sans bruit}

\subsection{Le critère de Nyquist peut-il être vérifié avec BW = 4000 Hz ?}

\subsubsection{Chaine 1}

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{g_1_2_4000_trim.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{oeil_1_2_4000_trim.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 1 \label{fig : 1_2_1000}}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
    %\hspace{-1cm}
    \centering
    \includegraphics[width=9.5cm]{nyquist_1_2_4000_trim.png}
    \caption{Vérification de Nyquist fréquentiel pour la chaine 1 \label{fig : nyquist_1_4000}}
\end{figure}

On vérife dans un premier temps que l'instant optimal existe, celui-ci est toujours $n_0 = 8$.

Le critère de Nyquist en fréquentiel est: \\
$\displaystyle \sum_k^{+\infty} G^{(t_0)}(f - \frac{k}{T_S}) = Cte$

On sait d'après le cours qu'une telle somme de racine de cosinus surélevé est constante, de plus grâce à la Figure \ref{fig : nyquist_1_4000} on observe que le spectre de $| H H_r |$ est "inclus" (pas totalement mais presque) dans celui de $| H_c |$, on en déduit alors que le critère de Nyquist en fréquentiel est vérifié.

\newpage

\subsubsection{Chaine 2}

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{g_2_2_4000_trim.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{oeil_2_2_4000_trim.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 2 \label{fig : 2_2_4000}}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
    %\hspace{-1cm}
    \centering
    \includegraphics[width=9.5cm]{nyquist_2_2_4000_trim.png}
    \caption{Vérification de Nyquist fréquentiel pour la chaine 2 \label{fig : nyquist_2_4000}}
\end{figure}

On vérife dans un premier temps que l'instant optimal est toujours $n_0 = 1$.
Ensuite, on observe grâce à la Figure \ref{fig : nyquist_2_4000} que le spectre de $| H H_r |$ est inclus dans celui de $| H_c |$, on en déduit alors que le critère de Nyquist en fréquentiel est vérifié.

\newpage

\subsection{Le critère de Nyquist peut-il être vérifié avec BW = 1000 Hz ?}

\subsubsection{Chaine 1}

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{g_1_2_1000_trim.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{oeil_1_2_1000_trim.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 1 \label{fig : 1_2_1000}}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
    %\hspace{-1cm}
    \centering
    \includegraphics[width=9.5cm]{nyquist_1_2_1000_trim.png}
    \caption{Vérification de Nyquist fréquentiel pour la chaine 1 \label{fig : nyquist_1_1000}}
\end{figure}

Cette fois ci on observe avec le diagramme de l'oeil de la Figure \ref{fig : 1_2_1000} qu'il est impossible de trouver un $n_0$ tel que la condition temporelle de Nyquist soit vérifiée.
De même si l'on observe les spectres Figure \ref{fig : nyquist_1_1000}, on remarque que la condition de Nyquist en fréquentiel n'est pas respectée car le spectre de $| H H_r |$ n'est pas inclus dans celui de $| H_c |$.

\newpage

\subsubsection{Chaine 2}

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{g_2_2_1000_trim.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{oeil_2_2_1000_trim.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 2 \label{fig : 2_2_1000}}
\end{figure}

\begin{figure}[ht!]
    %\hspace{-1cm}
    \centering
    \includegraphics[width=9.5cm]{nyquist_2_2_1000_trim.png}
    \caption{Vérification de Nyquist fréquentiel pour la chaine 2 \label{fig : nyquist_2_1000}}
\end{figure}

Cette fois ci on observe avec le diagramme de l'oeil de la Figure \ref{fig : 2_2_1000} qu'il est impossible de trouver un $n_0$ tel que la condition temporelle de Nyquist soit vérifiée.
De même si l'on observe les spectres Figure \ref{fig : nyquist_2_1000}, on remarque que la condition de Nyquist en fréquentiel n'est pas respectée car le spectre de $| H H_r |$ n'est pas inclus dans celui de $| H_c |$.

\end{document}