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    right=1.5cm
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\begin{document}

\begin{figure}[t]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{inp_n7.png}
\end{figure}

\title{
    \vspace{4cm} 
    \textbf{Compte-rendu de TP} \\
    Introduction aux communications numériques \\
    Etude de l’impact du bruit dans la chaine de transmission
}
\author{Laurent Fainsin}
\date{
    \vspace{7cm}
    Département Sciences du Numérique \\
    Première année \\
    2020 — 2021
}

\maketitle

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\tableofcontents

\newpage

\section{Chaine de référence}

La chaine de référence est créée avec un mapping binaire à moyenne nulle et des réponses impulsionnelles des filtres de mise en forme et de réception rectangulaires de durée Ts et de hauteur 1.

On trace les deux figures suivantes pour déterminer l'instant idéal $n_0$ lors de l'échantillonnage.

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c1_g.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c1_oeil_inf.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Sélection de $n_0$ \label{fig : c1_select}}
\end{figure}

Grâce à la figure \ref{fig : c1_select} on prend $n_0 = 4$. On remarque alors que lors d'une transmission non bruitée le taux d'erreur binaire est nul.

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c1_oeil_0.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c1_oeil_4.png} \\
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c1_oeil_8.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c1_oeil_12.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Diagramme de l'oeil pour différents $E_b/N_0$ \label{fig : c1_oeil}}
\end{figure}

Sur la figure \ref{fig : c1_oeil} on remarque que, plus le rapport $E_b/N_0$ est élevé, plus le diagramme de l'oeil se sépare en deux régions distinctes, permettant ainsi une décision plus fiable et un TEB plus faible.

\newpage

\begin{figure}[ht!]
    \centering
    \includegraphics[width=14cm]{trim_c1_TEB.png}
    \caption{Tracé du TEB en fonction de $E_b/N_0$ \label{fig : c1_TEB}}
\end{figure}

On trace sur la figure \ref{fig : c1_TEB} le taux d'erreur d'erreur binaire pour de nombreuses valeurs de $E_b/N_0$ et l'on observe que l'on retrouve le tracé théorique du TEB, déterminé à partir de l'équation : $ \displaystyle \text{TEB}_{\text{theo}} = Q \left( \sqrt{2\frac{E_b}{N_0}} \right)$

\newpage

\section{Chaine n°1}

Cette première chaine est créée avec un mapping binaire à moyenne nulle et des réponses impulsionnelles des filtres de mise en forme rectangulaire et de réception de type front.

On trace les deux figures suivantes pour déterminer l'instant idéal $n_0$ lors de l'échantillonnage.

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c2_g.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c2_oeil_inf.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Sélection de $n_0$ \label{fig : c2_select}}
\end{figure}

Grâce à la figure \ref{fig : c2_select} on prend $n_0 \in [2, 4]$. On remarque alors que lors d'une transmission non bruitée le taux d'erreur binaire est nul.

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c2_oeil_0.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c2_oeil_4.png} \\
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c2_oeil_8.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c2_oeil_12.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Diagramme de l'oeil pour différents $E_b/N_0$ \label{fig : c2_oeil}}
\end{figure}

Sur la figure \ref{fig : c2_oeil} on remarque encore que, plus le rapport $E_b/N_0$ est élevé, plus le diagramme de l'oeil se sépare en deux régions distinctes, permettant ainsi une décision plus fiable et un TEB plus faible.

\newpage

\begin{figure}[ht!]
    \centering
    \includegraphics[width=14cm]{trim_c2_TEB.png}
    \caption{Tracé du TEB en fonction de $E_b/N_0$ \label{fig : c2_TEB}}
\end{figure}

On trace sur la figure \ref{fig : c2_TEB} le taux d'erreur d'erreur binaire pour de nombreuses valeurs de $E_b/N_0$ et l'on observe que l'on retrouve le tracé théorique du TEB, déterminé à partir de l'équation : $ \displaystyle \text{TEB}_{\text{theo}} = Q \left( \sqrt{\frac{E_b}{N_0}} \right)$

Si l'on compare le TEB de cette chaine de transmission avec celle de référence, on remarque qu'en puissance celle de référence est plus efficace. Si l'on se réfère aux résultats du TP1 on avait trouvé que la chaine n°1 était spectralement moins efficace que la chaine de référence, notre observation n'est donc pas surprenante.

\newpage 

\section{Chaine n°2}

Cette deuxième chaine est créée avec un mapping 4-aire à moyenne nulle et des réponses impulsionnelles des filtres de mise et de réception en forme rectangulaire.

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c3_g.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c3_oeil_inf.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Sélection de $n_0$ \label{fig : c3_select}}
\end{figure}

Grâce à la figure \ref{fig : c3_select} on prend $n_0 = 8$ et on détermine les seuils optimaux de décisions : \{ 16, 0, -16 \}. On remarque alors que lors d'une transmission non bruitée le taux d'erreur binaire est nul.

\begin{figure}[ht!]
    \hspace{-1cm}
    \begin{tabular}{cc}
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c3_oeil_0.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c3_oeil_4.png} \\
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c3_oeil_8.png} &
        \includegraphics[width=9.5cm]{trim_c3_oeil_12.png} \\
    \end{tabular}
    \caption{Diagramme de l'oeil pour différents $E_b/N_0$ \label{fig : c3_oeil}}
\end{figure}

Sur la figure \ref{fig : c3_oeil} on remarque encore que, plus le rapport $E_b/N_0$ est élevé, plus le diagramme de l'oeil se sépare en deux régions distinctes, permettant ainsi une décision plus fiable et un TEB plus faible.

\newpage

\begin{figure}[ht!]
    \centering
    \includegraphics[width=14cm]{trim_c3_TEB.png}
    \caption{Tracé du TEB et TES en fonction de $E_b/N_0$ \label{fig : c3_TEB}}
\end{figure}

On trace sur la figure \ref{fig : c3_TEB} le taux d'erreur binaire et le taux d'erreur symbole pour de nombreuses valeurs de $E_b/N_0$ et l'on observe que l'on retrouve les tracés théoriques, déterminés à partir des équations :

$ \displaystyle \text{TES}_{\text{theo}} = \frac32 Q \left( \sqrt{\frac45\frac{E_b}{N_0}} \right)$ \qquad
$ \displaystyle \text{TEB}_{\text{theo}} = \frac34 Q \left( \sqrt{\frac45\frac{E_b}{N_0}} \right) = \frac{\text{TES}_{\text{theo}}}{\log_2(M)}$

On remarque cependant que les tracés numérique et théorique du TEB sont légèrement décalés, cela s'explique du fait que nous avons choisi ici un mapping binaire "naturel", tandis que l'équation thérique provient d'un mapping de Gray.

\begin{center}
    \hspace*{.09\linewidth}
    \begin{minipage}{.25\linewidth}
        Mapping "naturel" : \\
        $\begin{array}{lcr}
            00 &\rightarrow &-3 \\
            01 &\rightarrow &-1 \\
            10 &\rightarrow & 1 \\
            11 &\rightarrow & 3
        \end{array}$
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{.25\linewidth}
        Mapping de Gray : \\
        $\begin{array}{lcr}
            00 &\rightarrow &-3 \\
            01 &\rightarrow &-1 \\
            11 &\rightarrow & 1 \\
            10 &\rightarrow & 3
        \end{array}$
    \end{minipage}
\end{center}

En effet, si on suppose que l'on a utilisé un mapping de Gray et que l'on utilise l'approximation du TEB par celle du TES, on retrouve des tracés alignés:

\begin{figure}[ht!]
    \centering
    \includegraphics[width=14cm]{trim_c3_TEB_Gray.png}
    \caption{Tracé du TEB et TES en fonction de $E_b/N_0$ (Gray) \label{fig : c3_TEB_Gray}}
\end{figure}

On remarque que la chaine n°2 est moins efficace que celle de référence, car transmettre 4 symboles est propice à plus d'erreur. Cela va cependant à l'encontre des résultats trouvés lors du TP1.

\end{document}