\documentclass[
  11pt,
  a4paper,
  twoside,
  openany
]{book}

%%%%%%%%%% Packages %%%%%%%%%%

% pdfx loads both hyperref and xcolor internally
% \usepackage{hyperref}
% \usepackage{xcolor}
\usepackage[a-3u]{pdfx}

\usepackage{fontspec}
\usepackage[nomath]{libertinus-otf}
\usepackage[a4paper, hmargin=2cm, vmargin=3cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{microtype}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{bbold}
\usepackage[numbers]{natbib}
\usepackage[hyperpageref]{backref}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{nomencl}
\usepackage{caption}
\usepackage{placeins}

\usepackage{tikz}
\usepackage{pgf-pie}

\usepackage{algorithmicx}
\usepackage{algorithm}
\usepackage{algpseudocode}

% We use \hypersetup to pass options to hyperref
\hypersetup{
  colorlinks = true,
  breaklinks = true,
}

% must be loaded after hyperref
\usepackage[toc,section=chapter]{glossaries}
\renewcommand*{\glstextformat}[1]{\textcolor{black}{#1}}

% paragraph settings
\setlength{\parindent}{0cm}
\setlength{\parskip}{7pt}%

% assets path
\graphicspath{{../assets/}}

% header and footer settings
\usepackage{lastpage}
\usepackage{fancyhdr}

% normal pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\rfoot{\hypersetup{hidelinks}\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}% Line at the header invisible
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}% Line at the footer invisible

% chapter pages
\fancypagestyle{plain}{
  \fancyhf{}
  \rfoot{\hypersetup{hidelinks}\thepage/\pageref{LastPage}}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}% Line at the header invisible
  \renewcommand{\footrulewidth}{0pt}% Line at the footer invisible
}

\title{
  \huge \textbf{Rapport de Projet de Fin d'Études}
}
\author{
  Laurent Fainsin \\
  {\tt laurent@fainsin.bzh}
}
\date{
  \vspace{10.5cm}
  Département Sciences du Numérique \\
  Troisième année \\
  2022 — 2023
}

\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}

\newacronym{n7}{ENSEEIHT}{École nationale supérieure d'électrotechnique, d'électronique, d'informatique, d'hydraulique et des télécommunications}
\newacronym{pfe}{PFE}{Projet de Fin d'Études}

\newacronym{ml}{ML}{Machine Learning}
\newacronym{dl}{DL}{Deep Learning}
\newacronym{ai}{AI}{Artificial Intelligence}
\newacronym{ann}{ANN}{Artificial Neural Network}
\newacronym{pde}{PDE}{Partial Differential Equation}
\newacronym{mse}{MSE}{Mean Squared Error}
\newacronym{mae}{MAE}{Mean Absolute Error}
\newacronym{rmse}{RMSE}{Root Mean Squared Error}
\newacronym{mape}{MAPE}{Mean Absolute Percentage Error}

\newacronym{pca}{PCA}{Principal Component Analysis}
\newacronym{pod}{POD}{Proper Orthogonal Decomposition}
\newacronym{relu}{ReLU}{Rectified Linear Unit}
\newacronym{mlp}{MLP}{Multi-Layer Perceptron}

\newacronym{cfd}{CFD}{Computational Fluid Dynamic}
\newacronym{cnn}{CNN}{Convolutional Neural Network}
\newacronym{pvcnn}{PVCNN}{Point-Voxel CNN}

\newacronym{gnn}{GNN}{Graph Neural Network}
\newacronym{gan}{GAN}{Generative Adversarial Network}
\newacronym{ae}{AE}{Auto-Encoder}
\newacronym{vae}{VAE}{Variational Auto-Encoder}

\newacronym{nf}{NF}{Normalizing Flow}

\newacronym{kld}{KLD}{Kullback-Leibler Divergence}
\newacronym{hd}{HD}{Haussdorf Distance}
\newacronym{cd}{CD}{Chamfer Distance}
\newacronym{emd}{EMD}{Earth Mover Distance}
\newacronym{jsd}{JSD}{Jensen-Shannon Divergence}
\newacronym{cov}{COV}{Coverage}
\newacronym{mmd}{MMD}{Minimum Matching Distance}
\newacronym{1-nna}{1-NNA}{1-Nearest Neighbor Accuracy}

\newacronym{elbo}{ELBO}{Evidence Lower Bound}
\newacronym{vdm}{VDM}{Variational Diffusion Model}
\newacronym{ldm}{LDM}{Latent Diffusion Model}
\newacronym{cfg}{CFG}{Classifier-Free Guidance}
\newacronym{ddpm}{DDPM}{Denoising Diffusion Probabilistic Model}
\newacronym{t2i}{T2I}{Text to Image}

\newacronym{arm}{ARM}{Auto-Regressive Model}
\newacronym{nerf}{NeRF}{Neural Radiance Fields}

\newacronym{gp}{GP}{Gaussian Process}

\newacronym{go}{Go}{Gigaoctet}

\newacronym{kpconv}{KPConv}{Kernel Point Convolution}
\newacronym{pvconv}{PVConv}{Point Voxel Convolutions}
\newacronym{spvconv}{SPVConv}{Sparse Point Voxel Convolutions}

% \newglossary{symbols}{sym}{sbl}{Notations mathématiques et symboles}

% \newglossaryentry{fn}{
%   type={symbols},
%   name={\ensuremath{F_n}},
%   sort=fn,
%   description={Empirical (sample) distribution function}
% }

\makenoidxglossaries

\begin{document}

\NoAutoSpacing

\frontmatter

\vbox{
  \centering
  \includegraphics[width=5cm]{inp_n7.jpg}
  \hspace{1cm}
  \includegraphics[width=5cm]{safran_logo.png}
  \vspace{2cm}
  \maketitle
}

{
  \thispagestyle{empty}
  \chapter*{Remerciements}
  \addcontentsline{toc}{chapter}{Remerciements}

  Je tiens à remercier Xavier Roynard, Michel Alessandro Bucci et Brian Staber, mes tuteurs de stage, ainsi que les équipes de Safran pour leur accueil et leur accompagnement tout au long de ce stage.

  J'aimerais également remercier l'ensemble de mes professeurs de l'\gls{n7}, pour m'avoir permis d'acquérir les connaissances nécessaires à la réalisation de ce projet.

  % \gls{fn}
}

\clearpage

{
  \glsresetall
  \hypersetup{hidelinks}
  \addcontentsline{toc}{chapter}{Table des matières}
  \tableofcontents
}

\clearpage

{
  \glsresetall
  \hypersetup{hidelinks}
  \addcontentsline{toc}{chapter}{Table des figures}
  \listoffigures
}

\clearpage

{
  \glsresetall
  \hypersetup{hidelinks}
  \printnoidxglossary[type=main,title={Abbréviations et acronymes}]
  \printnoidxglossary[type=symbols]
}

\mainmatter

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Introduction}

\section{Présentation de l'entreprise}

Safran est un grand groupe industriel et technologique français, présent au niveau international dans les domaines de l'aéronautique, de l'espace et de la défense. Safran est le fruit de la fusion de Snecma et Sagem en 2005 et de l'acquisition de Zodiac Aerospace en 2018.

Les sociétés du groupe (Safran Aero Boosters, Safran Aerosystems, Safran Aircraft Engines, Safran Cabin, Safran Ceramics, Safran Electrical \& Power, Safran Electronics \& Defense, Safran Filtration System, Safran Helicopter Engines, Safran Landing Systems, Safran Nacelles, Safran Passenger Solutions, Safran Seats et Safran Transmission Systems) se répartissent entre cinq secteurs d'activité, à savoir la propulsion aéronautique et spatiale, les équipements aéronautiques, les intérieurs d'avions, les aérosystèmes et les applications militaires.

Dans le secteur des moteurs destinés aux avions civils, militaires et hélicoptères, Safran fait face à quatre concurrents majeurs: General Electric des États-Unis, Rolls-Royce du Royaume-Uni, Pratt \& Whitney des États-Unis et du Canada, ainsi que Honeywell des États-Unis. Dans le domaine des équipements, la compétition est plus vaste et variée:
\begin{itemize}
  \item Pour les systèmes d'atterrissage: Collins Aerospace (États-Unis), General Electric (États-Unis) et Crane Aerospace \& Electronics (États-Unis).
  \item En ce qui concerne les roues et les freins: Collins Aerospace, Honeywell (États-Unis) et Meggitt (Royaume-Uni).
  \item Pour les nacelles: Collins Aerospace et Spirit AeroSystems (États-Unis).
\end{itemize}
Dans les domaines de la défense et de l'avionique, le principal adversaire est le groupe français Thales.

Par ailleurs, Safran s'est également investi dans le développement de drones tactiques, tels que le Sagem Sperwer et le Patroller. Dans ce secteur, les principaux concurrents de Safran incluent AAI Corp (États-Unis), IAI (Israël) et Thales.

Safran est une société anonyme, côté au CAC 40 depuis 2011, l'État Français en possède 11\% et ses 83 000 salariés 7\%. Une grande part de son développement économique repose sur la vente de moteurs pour l'aviation civile. Son chiffre d'affaire s'élève à 10 945 millions d'euros au S1 2023.

\begin{figure}[h!]
  \begin{minipage}{.4\textwidth}
    \begin{tikzpicture}
      \pie{
        82/Flottant,
        11/État,
        7/Salariés
      }
    \end{tikzpicture}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}{.4\textwidth}
    \begin{tikzpicture}
      \pie{
        52/Propulsion,
        37/Équipements \& Défense,
        11/Aircraft Interiors
      }
    \end{tikzpicture}
  \end{minipage}
  \caption{Gauche: Structure du capital au S1 2023. Droite: Répartition du chiffre d'affaires au S1 2023.}
\end{figure}

Il est possible d'identifier des cycles itératifs comprenant les phases de recherche, de production et de vente, avec une focalisation sur le développement des moteurs. Une fois que la phase de recherche aboutit à la conception du moteur, celui-ci entre en production. À ce stade, l'entreprise se concentre sur l'amélioration des processus de production et leur mise à l'échelle. Les ventes génèrent des revenus pour l'entreprise, qui sont ensuite réinvestis dans le développement du moteur suivant.

Le CFM56, dont le développement s'est achevé en 1978, détient toujours le record du moteur civil le plus vendu au monde. Les ventes de ce moteur continuent à soutenir l'activité de Safran jusqu'à ce jour. En parallèle, le moteur LEAP, annoncé en 2008, a été mis sur le marché en 2014. Il équipe la nouvelle génération d'avions tels que les Boeing 737 Max et les Airbus A320 neo. Pour maintenir l'expertise technique malgré les fluctuations entre les cycles de développement et de production, Safran a créé Safran Tech en 2015. Cette entité prépare d'ores et déjà les technologies qui seront utilisées entre 2025 et 2030.

Safran Tech représente le centre de Recherche et Technologie de l'Innovation au sein du groupe. Son fonctionnement diffère du modèle commercial classique puisqu'il n'est pas axé sur un marché spécifique. Il abrite une équipe d'environ 500 chercheurs et ingénieurs qui se répartissent dans divers pôles, tels que ``Modélisation \& Simulation", ``Matériaux \& Procédés", ``Énergie \& Propulsion", ``Systèmes Électriques et Électroniques", ainsi que ``Technologies des Capteurs \& Applications". Sa mission principale est de stimuler l'innovation sur des problématiques ayant un impact sur l'ensemble des filiales du groupe.

Les équipes de recherche au sein de Safran Tech ne sont pas directement soumises aux contraintes imposées par d'importants projets industriels. Par conséquent, elles ont la liberté de mener des projets de recherche tout en collaborant avec des laboratoires externes tels que l'ONERA, le Centre des Matériaux des Mines, ainsi que les équipes d'autres entreprises. Cette structure permet à Safran Tech de rester agile dans ses activités de recherche et de développement, en explorant des solutions novatrices sans les contraintes de projets industriels spécifiques.

% Ce stage a été réalisé au sein de l'équipe « Computational Applied Mathematics » du pôle « Modélisation \& Simulations ». L'équipe compte une quinzaine de personnes. Une moitié sont titulaires et l'autre se compose des doctorants et stagiaires. Le pôle compte une soixantaine de collaborateurs. Les membres permanents sont tous au moins docteurs et viennent pour beaucoup directement de la recherche (ONERA, Centre des Matériaux, Cachan, etc.).

\section{Contexte du stage}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=16cm]{aube.jpg}
  \caption{Aubes du moteur Leap-1A}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Copyright \href{https://medialibrary.safran-group.com/Photos/media/179440}{Cyril Abad / CAPA Pictures / Safran}}
\end{figure}

Dans le domaine industriel, les codes de simulation numérique sont désormais un outil indispensable pour la conception de systèmes complexes, en particulier pour les modules de réacteurs d'avions ou d'hélicoptères.

De telles simulations sont par exemple utilisées pour évaluer les performances aérodynamiques d'un composant tel qu'une aube de turbine. En partant d'une géométrie de nominale, dans la phase d'optimisation, la pièce est progressivement modifiée afin d'optimiser certaines quantités d'intérêt.

Malheureusement, ce processus de conception itératif présente deux limites:
\begin{itemize}
  \item Le coût de calcul d'une simulation numérique de type \gls{cfd} est lourd, plusieurs heures sont nécessaires pour un unique calcul.
  \item Le nombre de degrés de liberté pour la géométrie d'un profil complexe discrétisée avec un maillage non structuré est important, ce qui rend impossible l'exploration complète de l'espace de recherche de la solution optimale.
\end{itemize}

\smallskip
Les approches d'optimisation assistées par surfaces de réponse permettent de répondre partiellement à ces difficultés. Cependant cette stratégie admet deux limitations intrinsèques:
% citation needed for surface de réponse
\begin{itemize}
  \item Elles nécessitent un long de travail de paramétrisation.
  \item Elles souffrent grandement du fléau de la dimension (i.e. la taille des problèmes considérés est généralement limitée).
\end{itemize}

\smallskip
En particulier, une représentation latente parcimonieuse de la géométrie faciliterait l'exploration de l'espace de recherche et l'utilisation de métamodèles classiques pour la prédiction des quantités d'intérêt.

Récemment, les modèles génératifs profonds comme les \glspl{vae} ou les \glspl{gan} ont été appliqués avec succès à des données structurées (e.g. des images). Ceux-ci permettent de construire un espace latent représentatif d'un jeu de données spécifique et de générer de nouveaux échantillons qui partagent des caractéristiques importantes du jeu de données d'entraînement.

Cependant, dans le cas de la simulation numérique, les données prennent souvent la forme de graphes en raison de l'utilisation de maillages pour représenter les surfaces des pièces à concevoir. Dans le contexte d'une application industrielle, il est donc crucial d'adapter les modèles susmentionnés afin de pouvoir utiliser des données non structurées en entrée. Les \glspl{gnn} permettent de traiter des données non structurées telles que des maillages ou des nuages de points.

Différentes solutions ont été proposées dans la littérature pour réaliser des convolutions et agrégations sur graphes ou nuages de points. Cependant, peu d'entre elles conviennent à l'application des réseaux sur graphes sur des données générées par des simulations numériques, car l'ordre de grandeur du nombre de nœuds est généralement trop important.

Le but de ce stage est d'évaluer le potentiel de ces nouvelles méthodes sur des jeux de données réalisés en internes et représentatifs pour Safran. Et éventuellement de proposer des améliorations spécifiques aux maillages utilisés en simulations numériques.

L'étude vise tout d'abord à étudier la bibliographie disponible d'un côté sur les modèles génératifs et d'un autre sur les réseaux convolutionnels sur graphes. L'objectif est, dans une première phase, de faire un benchmark des différentes solutions de modèles génératifs sur graphe de type \gls{vae} et \gls{gan} afin de créer une représentation latente des géométries d'aubes 3D. Pour cela un dataset avec quelques milliers d'échantillons d'aubes 3D et leurs performances aérodynamique est disponible à Safran. Le modèle résultant sera ensuite testé pour générer de nouvelles géométries et pour prédire les quantités d'intérêt par le biais de métamodèles classiques. Enfin, si l'avancement sur les premières tâches le permet, d'autres modèles génératifs peuvent être considérés comme les \glspl{nf} ou les \glspl{vdm}.

\chapter{État de l'art}

Ce chapitre présente les différents concepts et méthodes nécessaires à la compréhension du travail réalisé durant ce stage.

Dans le cadre de cette étude, nous nous intéressons à la génération de géométries d'aubes de turbines. Ces géométries font parties d'une modalitées de données peu commune, les maillages (qui sont un type de graphes) ou les nuages de points. Ces modalités sont relativement peu étudiée dans la littérature de l'apprentissage automatique comparé aux modalités plus classique comme les images, le texte ou encore l'audio. En effet, ces données sont non structurées et il est donc nécessaire d'utiliser des méthodes spécifiques pour les traiter.

Il reste pertinent de noter que les méthodes présentées dans ce chapitre sont récentes et que la littérature évolue très rapidement. De plus, les méthodes existantes sont très nombreuses et il est impossible de toutes les présenter. Nous avons donc choisi de présenter les méthodes les plus pertinentes pour permettre une bonne compréhension globale du travail réalisé durant ce stage.

\FloatBarrier
\glsunset{gnn}
\section{\acrfull{gnn}}

Les graphes sont des structures de données qui permettent de représenter des relations entre des entités. Un graphe est défini par un ensemble de nœuds et un ensemble d'arêtes. Les arêtes représentent des relations entre les nœuds. Ces relations peuvent être de différents types, comme des relations de parenté, de proximité ou encore de similarité. Les graphes peuvent être dirigés ou non. Dans le cas d'un graphe dirigé, les arêtes sont orientées et représentent une relation unidirectionnelle. Dans le cas d'un graphe non dirigé, les arêtes ne sont pas orientées et représentent une relation bidirectionnelle. Les graphes peuvent être pondérés ou non. Dans le cas d'un graphe pondéré, les arêtes sont associées à une valeur qui représente l'intensité de la relation entre les nœuds.

Les graphes offrent une représentation intuitive de diverses structures telles que les réseaux de communication, les réseaux sociaux, les molécules ou encore les maillages. Par conséquent, les graphes sont un type de données largement présents dans la nature et sont très répandu dans le domaine de l'ingénierie. De manière générale, les graphes peuvent être considérés comme une généralisation des données structurées, telles que les images ou les séries temporelles. En effet, toute données structurées/régulières peut facilement être traduite en un graphe régulier.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{example-graphs.jpg}
  \caption{Exemple de graphes}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: \href{https://blogs.nvidia.com/blog/2022/10/24/what-are-graph-neural-networks/}{NVIDIA, 2022}}
  \label{fig:graph_example}
\end{figure}

Les \glspl{gnn} sont une famille de modèles qui permettent de traiter ce type de structures de données. Ces modèles sont majoritairement basés sur des opérations de convolution et d'agrégation, similairement aux opérations de convolution et de pooling utilisées dans les réseaux de neurones pour les modalités plus classique comme les images.
On retrouve de même dans les \glspl{gnn} des architectures avancées, inspirées des réseaux de neurones classiques, comme les réseaux résiduels~\cite{gao_graph_2019}, les réseaux récurrents~\cite{li_gated_2017} ou l'attention~\cite{velickovic_graph_2018,brody_how_2022}.

% Mais on retrouve aussi des architectures spécifiques aux \gls{gnn} comme PointNet~\cite{qi_pointnet_2017,qi_pointnet_2017-1} ou GraphSAGE~\cite{hamilton_inductive_2017}, qui ne permettent de traiter uniquement que des données non structurées

Les applications les plus courantes de ces réseaux incluent la classification~\cite{kipf_semi-supervised_2017} de documents, la détection de fraudes~\cite{ma_comprehensive_2021} et les systèmes de recommandation~\cite{gao_survey_2023}. En revanche, la génération de graphes est moins répandue et se limite souvent dans la littérature à la génération de petites molécules~\cite{kipf_graph_2020,simonovsky_graphvae_2018}.

% ~\cite{thomas_kpconv_2019}
% ~\cite{tang_searching_2020}
% ~\cite{liu_point-voxel_2019}

\FloatBarrier
\section{Modèles génératifs}

Les modèles génératifs sont une famille de modèles qui permettent de générer de nouvelles données d'une distribution de données au préalablement apprise. Ces modèles sont très utilisés dans le domaine de l'apprentissage automatique pour générer des images, du texte ou encore de la musique. Ces modèles sont encore relativement peu utilisés dans le domaine de l'ingénierie pour générer des pièces industrielles.

Il existe plusieurs sous familles de modèles génératifs, chacune basées sur des principes différents, possédant ainsi des avantages et des inconvénients. Il est donc important de bien comprendre les différences entre ces modèles pour pouvoir choisir le modèle le plus adapté à la problématique. Plusieurs études ont déjà été réalisées pour comparer ces modèles, nous nous baserons donc partiellement sur ces études~\cite{faez_deep_2020,guo_systematic_2022,zhu_survey_2022} pour présenter les modèles les plus pertinents pour notre problématique.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{generative-overview.png}
  \caption{Principales familles de modèles génératifs}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: \href{https://lilianweng.github.io/posts/2021-07-11-diffusion-models/}{Lilian Weng, 2021}}
  \label{fig:generative_models}
\end{figure}

\FloatBarrier
\glsunset{gan}
\subsection{\acrfull{gan}}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{gan-architecture.png}
  \caption{Architecture d'un \gls{gan}}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: \href{https://lilianweng.github.io/posts/2017-08-20-gan/}{Lilian Weng, 2017}}
  \label{fig:gan-architecture}
\end{figure}

Les \glspl{gan} sont la famille de modèles génératifs la plus renommée et également la plus ancienne~\cite{goodfellow_generative_2014}. Ces modèles reposent sur un principe compétitif impliquant deux réseaux de neurones. Le premier réseau, connu sous le nom de générateur, a pour objectif de produire de nouvelles données. Le deuxième réseau, appelé discriminateur, est chargé de distinguer les données générées par le générateur des données réelles. Le générateur est entraîné à tromper le discriminateur tandis que le discriminateur est entraîné à identifier les données générées par rapport aux données réelles. Cette compétition entre les deux réseaux permet de former le générateur à générer des données de plus en plus réalistes. Ce type d'apprentissage est auto-supervisé, car il ne nécessite pas l'utilisation d'annotations sur les données pour entraîner le modèle.

Mathématiquement, on peut poser le problème d'optimisation suivant:
\begin{equation}
  \min_\text{G} \max_\text{D} L(\text{D}, \text{G}) = \mathbb{E}_{x \sim p(\boldsymbol{x})} [ \log \text{D}(x) ] + \mathbb{E}_{z \sim p(\boldsymbol{z})} [ \log (1 - \text{D}(G(z))) ]
\end{equation}
Les \glspl{gan} ont su démontrer leur efficacité pour générer des images réalistes. Cependant, ces modèles sont très difficiles à entraîner~\cite{arjovsky_towards_2017}. Les \glspl{gan} sont par exemple suceptibles à de nombreux problème~\cite{zhao_bias_2018}, tel que le problème de \textit{mode collapse}, où le générateur génère toujours la même image, mais aussi le problème de \textit{non convergence}, où le générateur et/ou le discriminateur ont une fonction de cout instable et ne convergent ainsi pas vers un équilibre de Nash, ou encore au problème de \textit{vanishing gradient}, où le discriminateur devient trop efficace et empêche le générateur d'apprendre.

Au fil des années, de nombreuses améliorations~\cite{salimans_improved_2016}, variations (WGAN~\cite{arjovsky_wasserstein_2017}, etc.) et cas d'applications (CycleGAN~\cite{zhu_unpaired_2020}, SGAN~\cite{odena_semi-supervised_2016}, SRGAN~\cite{ledig_photo-realistic_2017}, DragGAN~\cite{pan_drag_2023}, etc.) ont été proposées, mais ces modèles restent complexes à entraîner et à évaluer. De plus, ces modèles sont très sensibles aux hyperparamètres et nécessitent une grande quantité de données pour être efficaces.

Face à ces inconvénients, et puisque nous ne possédons pas de grandes quantités de données, nous avons choisi de ne pas utiliser cette famille de modèles.

\FloatBarrier
\glsunset{vae}
\subsection{\acrfull{vae}}

\begin{figure}[h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{vae-architecture.png}
  \caption{Architecture d'un \gls{vae}}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: \href{https://lilianweng.github.io/posts/2018-08-12-vae/}{Lilian Weng, 2018}}
  \label{fig:vae-architecture}
\end{figure}

Les \glspl{vae} constituent une autre famille de modèles génératifs, également bien connue comme les \glspl{gan} et relativement tout aussi anciens~\cite{kingma_auto-encoding_2022,kipf_variational_2016,doersch_tutorial_2021}. Ces modèles reposent sur l'entraînement simultané de deux réseaux de neurones: un encodeur et un décodeur. L'objectif de l'encodeur est de transformer les données d'entrée en une distribution de probabilité, tandis que le décodeur génère de nouvelles données à partir de cette distribution. Comme pour les \glspl{gan}, ces modèles visent à estimer une distribution de données qui se rapproche le plus possible de la distribution des données d'entraînement, c'est-à-dire qu'ils apprennent à reproduire fidèlement les données d'origine.

La particularité inhérente aux \glspl{vae} réside dans l'espace latent intermédiaire situé entre l'encodeur et le décodeur.
La recherche sur l'interprétabilité des réseaux de neurones et leur visualisations~\cite{olah2017feature} établissent que les espaces latents permettent d'extraire les informations sous-jacentes (non directement perceptibles) des données d'entrée. Travailler sur ces informations s'avère avantageux car elles décrivent plus simplement et précisement les données d'entrée.
De même, chez les \glspl{vae} la dimension de cette espace latent est configurée par l'architecture du réseau et peut être réduite à volonté. L'encodeur et le décodeur peuvent ainsi être conceptualisés comme des opérateurs de compression et de décompression.

Mathématiquement, on peut modéliser ces variables latentes et nos données d'entrée par une distribution jointe $p(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z})$. Les approches génératives ont pour but de trouver un modèle maximisant la vraissemblance de nos données d'entrée $p(\boldsymbol{x})$.
En pratique, maximiser directement la vraissemblance est impossible car cela reviendrait à calculer la marginalisation:
\begin{equation}
  p(\boldsymbol{x}) = \int p(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) d\boldsymbol{z}
\end{equation}

Cependant, il est tout de même possible de trouver une borne inférieure de l'évidence, appelée \gls{elbo}:
\begin{align}
  p(\boldsymbol{x}) \propto \log p(\boldsymbol{x}) & = \mathbb{E}_{ q_\phi( \boldsymbol{z} | \boldsymbol{x} ) } \left[ \log \frac{ p(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) } { q(\boldsymbol{z}|\boldsymbol{x}) }\right] - D_{\text{KL}}(q_\phi(\boldsymbol{z}|\boldsymbol{x}) \ \| \ p(\boldsymbol{z}|\boldsymbol{x})) \\
                                                   & \geq \mathbb{E}_{ q_\phi( \boldsymbol{z} | \boldsymbol{x} ) } \left[ \log \frac{ p(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) } { q_\phi(\boldsymbol{z}|\boldsymbol{x}) }\right] \label{eq:elbo}
\end{align}
Ainsi, puisque la \gls{kld} est toujours positive et car $\log p(\boldsymbol{x})$ est constant par rapport à $\phi$, maximiser l'\gls{elbo} (\ref{eq:elbo}) revient à maximiser l'évidence et donc la vraissemblance de nos données d'entrée $p(\boldsymbol{x})$. En simplifiant l'\gls{elbo}, on dérive une fonction de coût pour l'entrainement du \gls{vae}:
\begin{equation}
  \mathbb{E}_{ q_\phi( \boldsymbol{z} | \boldsymbol{x} ) } \left[ \log \frac{ p(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) } { q_\phi(\boldsymbol{z}|\boldsymbol{x}) }\right] = \underbrace{ \mathbb{E}_{ q_\phi( \boldsymbol{z} | \boldsymbol{x} ) } [ \log p_\theta(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{z}) ]}_{\text{reconstruction term}} - \underbrace{ D_{\text{KL}}(q_\phi(\boldsymbol{z}|\boldsymbol{x}) \ \| \ p(\boldsymbol{z})) }_{\text{prior matching term}}
\end{equation}

Une fois convergence atteinte, l'intéret de cet espace latent, lorsqu'il est accompagné de sont decodeur, est qu'il permet de générer de nouvelles données, par example en échantillonant $z = \mu + \sigma \odot \epsilon$, ou bien en interpolant entre deux points latents, ou encore en modifiant légèrement un point spécifique de cet espace. Avoir la possibilité de générer de nouvelles données semblables aux données d'origine se révèle extrêmement utile dans le domaine de l'ingénierie, offrant ainsi des possibilités de création et de conception de nouvelles données basées sur des modèles existants.

Tout comme les \glspl{gan}, de nombreuses améliorations (β-VAE~\cite{burgess_understanding_2018,higgins_beta-vae_2022,alemi_deep_2019}, f-VAE~\cite{su_f-vaes_2018}) et variations (SetVAE~\cite{kim_setvae_2021}, AutoDecoder~\cite{shah_auto-decoding_2020}, GraphVAE~\cite{simonovsky_graphvae_2018}) ont été proposées pour les \glspl{vae}. Ces modèles sont plus faciles à entraîner que les \glspl{gan} et présentent une plus grande stabilité. Cependant, les \glspl{vae} ont tendance à générer des données floues et peu réalistes~\cite{yacoby_failure_2021}, et en général produisent des résultats de moins bonne qualité que les \glspl{gan}, en particulier pour des résolutions élevées.

% nous avons choisi d'explorer ces modèles dans un premier temps lors de nos experiementations.

\FloatBarrier
\glsunset{nf}
\subsection{\acrfull{nf}}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{nf-architecture.png}
  \caption{Architecture d'un \gls{nf}}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: \href{https://lilianweng.github.io/posts/2018-10-13-flow-models/}{Lilian Weng, 2018}}
  \label{fig:nf-architecture}
\end{figure}

% on est capable de calculer exactement le log likelyhood, et donc de train direct dessus, contrairement aux VAE où on train sur l'ELBO ou les GANS où y'a pas du tout de log likelyhood, jsute un minmnax game

Les \glspl{nf} sont une autre classe de modèles génératifs qui ont gagné en popularité ces dernières années~\cite{kobyzev_normalizing_2021}, puisque ces méthodes proposent de travailler directement sur les densités de probabilité, contrairement aux \glspl{vae} et \glspl{gan}. Ces modèles se basent sur des transformations inversibles (bijectives), continues et différentiables. Ces transformations sont appliquées à une distribution de base, généralement une distribution simple comme une gaussienne isotropique, pour obtenir une distribution plus complexe et plus proche de la distribution des données réelles.
Les transformations inversibles utilisées dans les \glspl{nf} sont souvent paramétrisées par des réseaux de neurones, ce qui permet d'apprendre des fonctions non linéaires complexes. En utilisant plusieurs transformations en séquence, on peut construire des modèles génératifs flexibles capables de capturer des distributions complexes.

Dans la littérature, ces réseaux sont assez peu appliqués aux types de données qui nous intéressent, à l'exception notable de PointFlow~\cite{yang_pointflow_2019} qui aura posé certaines bases pour évaluer les réseaux génératifs de nuages de points. Comme par exemple la démocratisation des distances et métriques suivantes:

\glsunset{kld}
\subsubsection{\acrfull{kld}}

Soit deux distributions de probabilités discrètes $P$ et $Q$ sur un ensemble $X$.
\begin{equation}
  D_{\text{KL}}(P\|Q) = \sum_{x \in X} P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}
\end{equation}
La Divergence de Kullback-Leibler est une mesure de la dissimilarité entre deux distributions de probabilité. Elle évalue la quantité d'information perdue lorsque l'on tente d'approximer une distribution par une autre. La \gls{kld} n'est pas une distance, elle ne satisfait pas la propriété de symétrie ($D_{\text{KL}}(P\|Q) \neq D_{\text{KL}}(Q\|P)$) ni l'inégalité triangulaire ($D_{\text{KL}}(P\|R) \not\leq D_{\text{KL}}(P\|Q) + D_{\text{KL}}(Q\|R)$).

\glsunset{hd}
\subsubsection{\acrfull{hd}}

Soit $X$ et $Y$ deux nuages de points.
\begin{equation}
  d_\text{H}(X, Y) = \max \left\{ \sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x,y), \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(x, y) \right\}
\end{equation}
La distance de Hausdorff est une mesure quantitative utilisée pour évaluer la similarité ou la dissimilarité entre deux ensembles de points dans un espace métrique. Elle calcule la plus grande distance d'un point d'un ensemble à son point le plus proche dans l'autre ensemble. En d'autres termes, elle capture la plus grande distance entre les ensembles, ce qui en fait un outil utile pour comparer des formes, des structures ou des distributions de points.

\glsunset{cd}
\subsubsection{\acrfull{cd}}

Soit $X$ et $Y$ deux nuages de points.
\begin{equation}
  d_{\text{CD}}(X, Y) = \sum_{x \in X} \min_{y \in Y} \|x - y\|^2_2 + \sum_{y \in Y} \min_{x \in X} \|x - y\|^2_2
\end{equation}
La distance de Chamfer est une mesure de similarité entre deux ensembles de points dans un espace métrique. Elle évalue la proximité entre les points des ensembles en calculant la somme des distances entre chaque point d'un ensemble et son point le plus proche dans l'autre ensemble.

\glsunset{emd}
\subsubsection{\acrfull{emd}}

Soit $X$ et $Y$ deux nuages de points tels que $|X| = |Y|$, et $\phi: X \to Y$ une bijection.
\begin{equation}
  d_{\text{EMD}}(X, Y) = \min_{ \phi: X \to Y } \sum_{x \in X} \| x - \phi(x) \|_2
\end{equation}
La distance du transport optimal, également appelée distance du "Earth Mover", est une mesure de similarité entre deux distributions de masse dans un espace métrique. Elle évalue le coût minimum nécessaire pour déplacer une distribution de masse en une autre en respectant certaines contraintes de déplacement. Cette distance est couramment utilisée pour comparer des distributions de données, telles que des histogrammes, des vecteurs de caractéristiques ou des nuages de points, en prenant en compte non seulement les distances entre les éléments correspondants, mais aussi les coûts associés à leur déplacement.

\glsunset{jsd}
\subsubsection{\acrfull{jsd}}

Soit $S_g$ un ensemble de nuages de points générés et $S_r$ un ensemble de nuages de points de référence.
\begin{equation}
  \text{JSD}(S_g, S_r) = \frac12 D_{\text{KL}}(S_g \| M) + \frac12 D_{\text{KL}}(S_r \| M), \quad M = \frac12 (S_g + S_r)
\end{equation}
La divergence de Jensen-Shannon est une mesure de la similarité entre deux distributions de probabilité. Elle est calculée comme la moyenne des \glspl{kld} entre chaque distribution et la moyenne de ces distributions. Contrairement à la \gls{kld}, la \gls{jsd} est symétrique et bornée entre 0 et 1.
Cependant, la \gls{jsd} utilise la distribution globale des nuages de points et non la distribution des nuages de points individuellements. Ainsi, un modèle qui produit toujours une "forme moyenne" peut obtenir un score \gls{jsd} parfait sans apprendre de distributions significatives.

\glsunset{cov}
\subsubsection{\acrfull{cov}}

Soit $S_g$ un ensemble de nuages de points générés, $S_r$ un ensemble de nuages de points de référence et $D$ une distance entre nuages de points.
\begin{equation}
  \text{COV}(S_g, S_r) = \frac{ | \{ \argmin_{Y \in S_r} D(X, Y) | X \in S_g \} | }{ |S_r| }
\end{equation}
La couverture évalue le nombre de nuages de points de référence qui sont appariés à au moins une forme générée.
La couverture permet de quantifier la diversité des générations mais est sensible à la perte de modes, cependant elle n'évalue pas la qualité des nuages de points générés.
Ainsi, des nuages de points générés de faible qualité mais diversifiés peuvent obtenir des scores de couverture élevés.

\glsunset{mmd}
\subsubsection{\acrfull{mmd}}

Soit $S_g$ un ensemble de nuages de points générés, $S_r$ un ensemble de nuages de points de référence et $D$ une distance entre nuages de points.
\begin{equation}
  \text{MMD}(S_g, S_r) = \frac{1}{|S_r|} \sum_{Y \in S_r} \min_{X \in S_g} D(X, Y)
\end{equation}
La distance de correspondance minimale, est une mesure qui évalue la différence entre deux ensembles ordonnés. Elle calcule la plus petite somme des distances entre les éléments des deux ensembles.
Cependant, la \gls{mmd} est en réalité très peu sensible aux nuages de points de qualité médiocre dans $S_g$, étant donné leur faible probabilité d'être appariés avec des nuages de points réels dans $S_r$. Dans un cas extrême, on pourrait envisager que $S_g$ soit composé principalement de nuages de points de très mauvaise qualité, ainsi que de nuages de point pratiquement identiques à ceux de $S_r$. Dans ce cas, on obtiendrait un score de raisonnablement élevé.

\glsunset{1-nna}
\subsubsection{\acrfull{1-nna}}

Soit $S_g$ un ensemble de nuages de points générés, $S_r$ un ensemble de nuages de points de référence, $N_X$ les voisins les plus proches de $X$ dans $S_{-X} = S_r \cup S_g - \{X\}$, $N_Y$ les voisins les plus proches de $Y$ dans $S_{-Y} = S_r \cup S_g - \{Y\}$ et $\mathbb{1}$ la fonction indicatrice.
\begin{equation}
  \text{1-NNA}(S_g, S_r) = \frac{ \sum_{X \in S_g} \mathbb{1}[N_X \in S_g] + \sum_{Y \in S_r} \mathbb{1}[N_Y \in S_r] }{ |S_g| + |S_r| }
\end{equation}
Pour chaque point d'un ensemble de nuages de points, cette mesure évalue par une classification par plus proche voisin, si celui-ci provient de $S_g$ ou de $S_r$. La précision de cette classification est ensuite calculée comme la moyenne des précisions de chaque point de $S_g$ et de $S_r$.

En supposant que $S_g$ et $S_r$ soient échantillonnés à partir de la même distribution, la précision d'un tel classificateur devrait converger vers 50\% avec un nombre suffisant d'échantillons. Plus la précision se rapproche de 50\%, plus les similarités entre $S_g$ et $S_r$ sont prononcées, ce qui indique une meilleure capacité du modèle à apprendre la distribution cible. Dans notre contexte, le plus proche voisin peut être calculé à l'aide de la \gls{cd} ou de l'\gls{emd}. Contrairement à la \gls{jsd}, le \gls{1-nna} considère la similarité entre les distributions de formes plutôt qu'entre les distributions totale des points. Contrairement au \gls{cov} et au \gls{mmd}, la \gls{1-nna} mesure directement la similarité des distributions et prend en compte à la fois la diversité et la qualité.

\FloatBarrier
\glsunset{vdm}
\subsection{\acrfull{vdm}}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{vdm-architecture.png}
  \caption{Architecture d'un \gls{vdm}}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: Calvin Luo~\cite{luo_understanding_2022}}
  \label{fig:vdm-architecture}
\end{figure}

Les \glspl{vdm} sont la famille de réseaux générateurs la plus récente et aussi la plus performante~\cite{dhariwal_diffusion_2021}. La manière la plus simple de décrire ces modèles est de les considérer comme une mélange des \glspl{vae} et des \glspl{nf}. En effet, le principe des \glspl{vdm} est de trouver un processus basé sur des transformation stochastiques, discrètes et réversible entre notre distribution de données et distribution totalement différente, mais que l'on connait de préférence parfaitement mathématiquement.

Plusieurs catégories de modèles sont disponibles pour aborder le problème de la diffusion, parmi lesquelles émerge la plus reconnue, à savoir les \glspl{ddpm}~\cite{ho_denoising_2020}. Cette approche vise à identifier une correspondance entre les données observées et une distribution gaussienne standard. Ce processus est appris au moyen d'un modèle paramétrique (i.e. un réseau de neurones).

Dans leur architecture, les \glspl{vdm} peuvent être vus comme une chaine de Markov de \glspl{vae} hiérarchiques avec trois restrictions notable:
\begin{itemize}
  \item La dimension latente est exactement égale à la dimension des données d'entrée.
  \item La structure de l'encodeur est fixée et pré-définie. Il s'agit d'un encodeur linéaire gaussien, c'est-à-dire une distribution gaussienne centrée autour de la sortie de l'étape précédente.
  \item Les paramètres de l'encodeur varient au cours du temps de sorte que la distribution latente à l'étape finale $T$ soit une gaussienne standard.
\end{itemize}

On note $q$ les "encodeurs" et $p$ les "décodeurs" des \glspl{vae} de la chaine de Markov, $x_0 \sim \boldsymbol{x}_0$ un échantillon de notre distribution de données, $x_T \sim \boldsymbol{x}_T$ un échantillon d'une normale isotropique, et $x_t \sim \boldsymbol{x}_t$ tout échantillon intermédiaire, avec $t$ le temps de diffusion, $T$ le temps final de diffusion.

D'après les contraintes précédentes, on peut écrire pour le forward process:
\begin{equation}
  q(\boldsymbol{x}_t | \boldsymbol{x}_{t-1}) = \mathcal{N} ( \boldsymbol{x}_t; \sqrt{\alpha_t} \boldsymbol{x}_0, (1 - \alpha_t) \mathbf{I} )
\end{equation}
avec $\alpha_t \in [0, 1]$ qui évolue en $t$ selon une suite fixée ou apprenable (i.e. via un réseau de neurones).

Cependant puisque toutes ces opérations sont linéaires et gaussiennes, si l'on souhaite obtenir $x_t$ à partir de $x_0$, au lieu d'appliquer $t$ fois cette relation, on peut simplifier comme suit:
\begin{equation}
  q(\boldsymbol{x}_t | \boldsymbol{x}_0) = \mathcal{N} ( \boldsymbol{x}_t; \sqrt{\overline\alpha_t} \boldsymbol{x}_0, (1 - \overline\alpha_t) \mathbf{I} ), \quad \overline\alpha_t = \prod_{t=1}^t \alpha_t
\end{equation}
L'objectif de la diffusion est de trouver une approximation du processus inverse $p_\theta (\boldsymbol{x}_{t-1} | \boldsymbol{x}_t) \approx p(\boldsymbol{x}_{t-1} | \boldsymbol{x}_t)$.
Cependant via une dérivation de l'\gls{elbo} et un conditionnement additionnel, on peut montrer que cela revient à minimiser la \gls{kld} entre $q(\boldsymbol{x}_{t-1} | \boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x_0})$ et $p_\theta (\boldsymbol{x}_{t-1} | \boldsymbol{x}_t)$. Ensuite, via une application de la formule de Bayes, on obtient:
\begin{equation}
  q(\boldsymbol{x}_{t-1} | \boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x_0}) \propto \mathcal{N} ( \boldsymbol{x}_{t-1}; \mu_q (\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0), \Sigma_q (\boldsymbol{x}_t) )
\end{equation}
avec:
\begin{equation}
  \mu_q (\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0) = \frac{ \sqrt{\alpha_t} (1 - \overline{\alpha}_{t-1}) \boldsymbol{x}_t + \sqrt{\overline{\alpha}_{t-1}} (1 - \alpha_t) \boldsymbol{x}_0 } { 1 - \overline{\alpha}_t }, \quad \Sigma_q (\boldsymbol{x}_t) = \frac{ (1 - \alpha_t)(1 - \overline{\alpha}_{t-1}) } { 1 - \overline{\alpha}_t }
\end{equation}
On peut finalement simplifier cette expression via une reparamétrisation:
\begin{equation}
  \boldsymbol{x}_0 = \frac{ \boldsymbol{x}_T - \sqrt{1 - \overline{\alpha}_t} \epsilon_0 } { \sqrt{\overline{\alpha}_t} } \implies \mu_q (\boldsymbol{x}_t, \boldsymbol{x}_0) = \frac{ 1 } { \sqrt{\alpha} } \boldsymbol{x}_t - \frac{ 1 - \alpha_t } { \sqrt{ 1 - \overline{\alpha}_t } \sqrt{\alpha_t} } \epsilon_0
\end{equation}
Si l'on réeffectue une dérivation de l'\gls{elbo} avec ces nouvelles expressions, on en conclut qu'il suffit de trouver une approximation $\epsilon_\theta (\boldsymbol{x}_t, t) \approx \epsilon_0$. En pratique on utilise un réseau de neurones que l'on entraine à minimiser $|\| \epsilon_0 - \epsilon_\theta (\boldsymbol{x}_t, t) \|_2^2$. Une fois cette approximation trouvée, on peut facilement remonter à $p_\theta (\boldsymbol{x}_{t-1} | \boldsymbol{x}_t)$.

\begin{algorithm}
  \caption{DDPM training}
  \begin{algorithmic}[1]
    \Repeat
    \State $x_0 \sim \boldsymbol{x_0}$
    \State $t \sim \text{Uniform}( \lbrack\!\lbrack 1, T \rbrack\!\rbrack )$
    \State $\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})$
    \State take gradient step on $\displaystyle \nabla_\theta \| \epsilon - \epsilon_\theta ( \sqrt{\overline{\alpha}_t} x_0 + \sqrt{1 - \overline{\alpha}_t} \epsilon, t ) \|_2^2$
    \Until{converged}
  \end{algorithmic}
\end{algorithm}

\begin{algorithm}
  \caption{DDPM sampling}
  \begin{algorithmic}[1]
    \State $x_T \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})$
    \For{$t=T, ..., 1$}
    \State $z \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})\ \text{if}\ t > 1, \text{else}\ z = 0$
    \State $\displaystyle x_{t-1} = \frac{1}{\sqrt{\overline{\alpha}_t}} \left( x_t - \frac{\sqrt{1 - \alpha_t}}{\sqrt{\overline{\alpha}_t}} \epsilon_\theta (x_t, t) \right) + \sigma_t z$
    \EndFor
    \State \Return $x_0$
  \end{algorithmic}
\end{algorithm}

Après avoir achevé l'entraînement adéquat de notre modèle, on peut désormais appliquer $p_\theta (\boldsymbol{x}_{t-1} | \boldsymbol{x}_t)$ itérativement pour passer d'un échantillon $x_T$ à sa prédiction $\hat{x}_0$. Dans les faits, le réseau commence à halluciner des reconstructions qui présentent une forte ressemblance avec nos données d'entraînement, il génère donc de nouvelles données.

Il est possible de démontrer théoriquement~\cite{luo_understanding_2022} l'équivalence entre les \glspl{vdm} et les méthodes de score matching~\cite{song_generative_2020} lorsque $T$ tend vers l'infini. Les méthodes de score matching, constituent une famille de techniques permettant l'estimation de la densité de probabilité associée à un ensemble de données. Elles se basent exclusivement sur le calcul du gradient de cette densité de probabilité, éliminant ainsi la nécessité du calcul laborieux d'une constante de normalisation. Une fois le gradient estimé (e.g. via un réseau de neurones), la densité de probabilité peut être retrouvée au moyen de méthodes d'échantillonnage telles que la méthode de recuit de Langevin~\cite{song_generative_2020}.

\FloatBarrier
\glsunset{ldm}
\subsubsection{\acrfull{ldm}}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=6cm]{ldm-compression.jpg}\hspace*{5mm}\includegraphics[width=10cm]{ldm-architecture.png}
  \caption{Architecture d'un \gls{ldm}}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: Rombach \& Blattmann, et al.~\cite{rombach_high-resolution_2022}}
  \label{fig:ldm-architecture}
\end{figure}

Une amélioration significative des \glspl{vdm} réside dans la mise en œuvre intelligente des espaces latents. Cette méthode, dénommée \gls{ldm}~\cite{rombach_high-resolution_2022}, repose sur l'observation selon laquelle l'exploitation des informations latentes (souvent de dimensions nettement réduites), tout comme pour les \glspl{vae}, confère des avantages substantiels en termes de représentativité des données. La transition des \glspl{vdm} vers les \glspl{ldm} consiste en l'introduction préalable d'un second modèle, qu'il soit paramétrique ou non, destiné à obtenir une représentation alternative de nos données.

Les \glspl{vae} sont fréquemment employés à cet effet. L'entrainement des \glspl{ldm} ne changent pas par rapport aux \glspl{vdm}, seul le domaine d'apprentissage du modèle est modifié. Ainsi cette approche induit généralement une réduction de la complexité du réseau, entraînant ainsi une diminution du temps nécessaire à l'entraînement, tout en exerçant une influence forte sur la qualité des résultats obtenus.

\FloatBarrier
\subsubsection{Conditionnement \& Guidance}

Jusqu'à présent, les modèles génératifs ont démontré leur capacité à générer des données conformes à une distribution de données apprise. Cependant, il est fréquemment nécessaire d'échantillonner une sous-distribution spécifique de nos données. À cette fin, il est possible de conditionner le modèle en utilisant une seconde donnée d'entrée (i.e. des embeddings), tel qu'une image, un scalaire, un audio, ou du texte, à l'instar des modèles de type \gls{t2i} tels que DALL·E 2 ou Stable Diffusion.

Deux méthodes existent actuellement pour permettre à des modèles de diffusion de générer des données conditionnées.

% TODO: vérifier les citations, pas sur que ça corresponde

La première méthode est appelée Classifier Guidance~\cite{dhariwal_diffusion_2021} et repose sur l'entrainement d'un classificateur annexe $f_\phi(y | x_t)$ entrainé sur des données bruitées $x_t$ ainsi que leur classes associées $y$. Le logarithme du gradient de ce classifier est ensuite utilisé pour guider le modèle de diffusion. Ainsi selon la formulation du score matching on obtient:
\begin{align}
  \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p (\boldsymbol{x}_t | y) & = \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p \left( \frac{ p(\boldsymbol{x}_t) p(y | \boldsymbol{x}_t) }{ p(y) } \right)                                                                                                          \\
                                                          & = \underbrace{ \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p (\boldsymbol{x}_t) }_{\text{unconditional score}} + \underbrace{ \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log q (y | \boldsymbol{x}_t) }_{\text{adversarial gradient}} \label{eq:165}
\end{align}
Si l'on remplace $q( y | \boldsymbol{x}_t )$ par $f_\phi ( y | \boldsymbol{x}_t )$ on obtient, et que l'on introduit un facteur de guidage $\gamma$, on obtient:
\begin{align}
  \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p (\boldsymbol{x}_t | y) & \approx \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log q (\boldsymbol{x}_t) + \gamma \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log f_\phi (y | \boldsymbol{x}_t) \label{eq:166}         \\
                                                          & = - \frac{1}{ \sqrt{1 - \overline{\alpha}_t} }\epsilon_\theta(\boldsymbol{x}_t, t) + \gamma \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log f_\phi (y | \boldsymbol{x}_t)
\end{align}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{classifier-guidance.png}
  \caption{Conditionnement par Classifier Guidance}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: \href{https://perceptron.blog/defusing-diffusion/}{Perceptron.blog, 2023}}
  \label{fig:classifier_guidance}
\end{figure}

% https://perceptron.blog/defusing-diffusion/

La seconde méthode est appelée Classifer-Free Guidance~\cite{ho_classifier-free_2022, nichol_glide_2022} et repose sur l'entraînement d'un unique réseau de neurones ayant pour objectif d'apprend à la fois la distribution conditionnelle et non conditionnelle. En réarrangeant l'équation \ref{eq:165}, on obtient:
\begin{equation}
  \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p (y | \boldsymbol{x}_t) = \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p (\boldsymbol{x}_t, y) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p (\boldsymbol{x}_t)
\end{equation}
En subsituant l'équation \ref{eq:166} dans l'équation ci-dessus, on obtient:
\begin{align}
  \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p (\boldsymbol{x}_t | y) & = \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p (\boldsymbol{x}_t) + \gamma ( \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t | y) - \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t) )                                          \\
                                                          & = \underbrace{ \gamma \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t | y) }_{\text{conditional score}} + \underbrace{ (1 - \gamma) \nabla_{\boldsymbol{x}_t} \log p(\boldsymbol{x}_t) }_{\text{unconditional score}}
\end{align}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{classifier-free-guidance.png}
  \caption{Conditionnement par Classifier-free Guidance}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: \href{https://perceptron.blog/defusing-diffusion/}{Perceptron.blog, 2023}}
  \label{fig:classifier_free_guidance}
\end{figure}

Cette approche présente divers avantages. Premièrement, elle s'appuie sur un unique réseau de neurones, contrairement à la méthode guidée par classificateur qui en utilise deux. Deuxièmement, l'entraînement ne devient pas significativement plus complexe ; nous procédons de la même manière qu'auparavant, en ajoutant simplement les embeddings de classe et en parfois excluant aléatoirement ces embeddings (selon une loi uniforme) pour apprendre en conditionnement non contraint. Troisièmement, les données telles que le texte se prêtent difficilement à une classification en classes, et cette approche permet l'utilisation de vecteurs scalaires pour le conditionnement.

\begin{algorithm}
  \caption{DDPM training with classifier-free guidance}
  \begin{algorithmic}[1]
    \Require $p_\text{uncond}$: probability of unconditional training
    \Repeat
    \State $(x_0, c) \sim (\boldsymbol{x_0}, \boldsymbol{c})$
    \State $c \leftarrow \varnothing$ with probability $p_\text{uncond}$
    \State $t \sim \text{Uniform}( \lbrack\!\lbrack 1, T \rbrack\!\rbrack )$
    \State $\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})$
    \State take gradient step on $\nabla_\theta \| \epsilon - \epsilon_\theta ( \sqrt{\overline{\alpha}_t} x_0 + \sqrt{1 - \overline{\alpha}_t} \epsilon, t, c ) \|_2^2$
    \Until{converged}
  \end{algorithmic}
\end{algorithm}

Dans notre cas d'application, nous pouvons conditionner sur les scalaires représentant les performances de nos maillages.

% https://liorsinai.github.io/coding/2023/01/04/denoising-diffusion-3-guidance.html#guided-diffusion

% \cite{zhou_3d_2021}
% \cite{nguyen_point-set_2021}
% \cite{zeng_lion_2022}

\FloatBarrier
\glsunset{arm}
\subsection{\acrfull{arm}}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{arm-architecture.png}
  \caption{Architecture d'un \gls{arm}}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: \href{https://colah.github.io/posts/2015-08-Understanding-LSTMs/}{Christopher Olah, 2015}}
  \label{fig:arm-architecture}
\end{figure}

Les modèles auto-régressifs sont des méthodes de génération de séquences qui utilisent les éléments précédents pour prédire chaque élément suivant. Ces modèles sont largement utilisés dans le domaine du traitement du langage naturel, où ils ont montré d'excellentes performances. Cependant, l'application de ces modèles à la génération de graphes présente des défis particuliers en raison de la structure complexe des graphes. En effet, les graphes sont des structures de données non régulières et non séquentielles, ce qui rend difficile l'utilisation des modèles auto-régressifs. Malgré cela, plusieurs approches~\cite{nash_polygen_2020,liao_efficient_2020} ont été proposées pour adapter ces modèles à la génération de graphes. Cependant, il est important de noter que ces modèles deviennent de moins en moins précis de manière exponentielle à mesure que la taille de la séquence à générer augmente. De ce fait nous n'avons pas encore utilisé ces modèles dans nos travaux.

% fouttre des figures algos, ça sera plus simple

\FloatBarrier
\glsunset{nerf}
\subsection{\acrfull{nerf}}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{nerf-architecture.png}
  \caption{Architecture d'un \gls{nerf}}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: \href{https://theaisummer.com/nerf/}{AI Summer, 2022}}
  \label{fig:nerf-architecture}
\end{figure}

Les \glspl{nerf} représentent une autre famille de modèles génératifs qui ont gagné en popularité récemment~\cite{mildenhall_nerf_2020}. Ces modèles ont la capacité de générer des rendus 3D hautement réalistes à partir de données d'entraînement en utilisant des réseaux de neurones. Contrairement aux approches traditionnelles de rendu 3D basées sur des maillages, les \glspl{nerf} exploitent des représentations continues et implicites des scènes en décrivant les propriétés radiométriques et géométriques en chaque point de l'espace 3D.

Le principe des \glspl{nerf} est de modéliser une fonction de densité de rayon (ou "ray density function") qui caractérise l'intéraction de la lumière avec les objets de la scène. Cette fonction est ensuite utilisée pour estimer la couleur et la profondeur des rayons traversant la scène, permettant ainsi de générer des images photoréalistes.

L'un des aspects fascinants des \glspl{nerf} réside dans leur capacité à apprendre des scènes complexes et à générer des rendus à partir d'un nombre limité de vues ou de données d'entraînement. Grâce à leur architecture neuronale et à leur capacité à modéliser la distribution des couleurs et des formes, les \glspl{nerf} sont en mesure de synthétiser des scènes réalistes même à partir de quelques images.

Les \glspl{nerf} sont donc une alternative aux méthodes traditionnelles de reconstructions de scènes par résolution du problème inverse 3D. Cependant ces modèles peuvent aussi être utilisé conjointement avec d'autres réseau pour permettre d'obtenir des réseaux génératifs~\cite{nichol_point-e_2022,takikawa_neural_2021,nam_3d-ldm_2022}.

Dans notre cas, étant donné que notre jeu de données n'est pas adapté à l'application des \glspl{nerf}, car cela nécessiterait un processus de prétraitement complexe de notre ensemble de données (comprenant la conversion de nos maillages/scènes en images via un moteur de rendu) ainsi qu'un post-traitement conséquent (utilisation du "marching cube" pour passer dd'une représentation implicite à un maillage) de nos résultats. Par conséquent, nous ne choisirons pas d'adopter cette approche. De plus, dans le contexte industriel, les outils destinés à la manipulation d'objets implicites ne sont pas encore suffisamment avancés pour être déployés en production.

\FloatBarrier
\chapter{Déroulement du stage}

Ce chapitre présente un aperçu détaillé du déroulement de mon stage de 6 mois (Du 21 Mars 2023 au 21 Septembre 2023) au sein de Safran. Tout au long de cette période, j'ai travaillé en tant que Stagiaire Ingénieur en Machine Learning au sein du département Safran Tech, dans l'équipe flex (chercher acronyme bidule), dont le but est de développer des outils de simulation et de modélisation pour les besoins de Safran. J'ai été encadré par Xavier Roynard, Michel Alessandro Bucci et Brian Staber.

Je décrirai dans les prochaines sections les différentes étapes de mon stage, les tâches qui m'ont été confiées ainsi que les projets auxquels j'ai contribué.

\FloatBarrier
\section{Lecture de la littérature}

Les premiers jours de mon stage ont été dédiés à mon intégration au sein de l'entreprise. J'ai rencontré mes tuteurs de stage qui m'ont présenté l'équipe et les différents membres du département. Une visite des locaux de l'entreprise m'a été proposée, accompagnée d'explications sur les mesures de sécurité en vigueur. J'ai également pris connaissance des outils et des logiciels utilisés dans le cadre de mon projet. Ces premiers jours ont été l'occasion pour moi de participer à des réunions d'équipe, en présence d'autres stagiaires et d'ingénieurs, afin de me familiariser avec les différents projets en cours et de préciser les objectifs de mon stage.

Les deux premières semaines de mon stage ont été dédiées à la lecture approfondie de la littérature scientifique liée à mon domaine d'étude. J'ai effectué des recherches bibliographiques afin de recueillir des informations pertinentes sur les avancées récentes, les théories et les techniques utilisées dans le domaine des modèles génératifs. J'ai majoritairement consulté des articles de conférence et des documents en ligne pour obtenir une vue d'ensemble complète des travaux antérieurs réalisés par des chercheurs et des ingénieurs. Pour appronfondir mes recherches, j'ai également utilisé des outils, tels que \href{https://www.semanticscholar.org/}{Semantic Scholar} ou \href{https://paperswithcode.com/}{Papers with code}, pour trouver les codes sources des papiers ainsi que d'autres papiers ayant pour citation ou référence les articles que j'avais déjà lus, me permettant ainsi de découvrir de nouvelles publications pertinentes.

Lors de ma lecture, j'ai pris des notes (via les logiciels \href{https://logseq.com/}{Logseq} et \href{https://www.zotero.org/}{Zotero}) sur les concepts clés, les méthodologies et les résultats des études. J'ai analysé et comparé les différentes approches proposées dans la littérature afin de mieux comprendre les avantages et les limites de chaque méthode. Cette phase de lecture m'a permis d'acquérir une solide base de connaissances et de me familiariser avec les travaux existants dans le domaine. Ces connaissances préliminaires ont été essentielles pour orienter mes travaux ultérieurs de développement et de recherche lors du stage.

Au cours de cette période, j'ai également eu des discussions régulières avec mes tuteurs de stage pour discuter des articles lus, clarifier certains points et définir la direction à suivre pour mon projet. Ces échanges m'ont permis d'approfondir ma compréhension et de cibler les aspects spécifiques sur lesquels je devais me concentrer lors des prochaines phases de mon stage.

\FloatBarrier
\section{Prise en main des données}

En parallèle de ma lecture de la littérature, j'ai entamé l'exploration des données fournies par Safran. J'ai acquis une compréhension des différents formats de données spécifiques utilisés par l'entreprise pour stocker les résultats des simulations numériques de mécaniques des fluides. De plus, j'ai appris à manipuler ces données en utilisant des outils tels que Paraview~\cite{ParaView}.

Le principal ensemble de données sur lequel j'ai travaillé pendant mon stage s'appelle Rotor37\_1200. Il s'agit d'un ensemble de données de simulation \gls{cfd} d'une des 37 pales d'une turbine d'un moteur d'avion. Cet ensemble de données contient 1200 échantillons, qui ont été créé via un processus d'optimisation consistant en l'exploration de paramètres en quête de la maximisation d'un critère de performance.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{online_adaptative_sampling_DOE}
  \caption{Processus d'optimisation ayant permis de générer l'ensemble de données Rotor37\_1200}
  \label{fig:process-rotor37-1200}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=4.5cm]{rotor37_1.png}\includegraphics[width=4.5cm]{rotor37_2.png}\includegraphics[width=4.5cm]{rotor37_3.png}
  \caption{Échantillon de l'ensemble de données Rotor37\_1200 sous plusieurs angles}
  \label{fig:example-rotor37-1200}
\end{figure}

Chaque aube du jeu de données est une déformation d'une aube nominale. Ainsi tous les maillages possèdent le même nombre de points et la même connectivité. Pour donner un ordre de grandeur, chaque maillage est constitué de 29773 points, 59328 triangles et 89100 arêtes.

Chaque échantillon est constitué de deux fichiers distincts. Le premier est un fichier au format .vtk qui contient le maillage de l'aube, comprenant les positions 3D, les normales et la connectivité de chaque point du maillage. Ce fichier .vtk inclut également les champs physiques associés à chaque point, tels que la température, la pression, etc. Le second fichier est un fichier .csv contenant des métadonnées globales spécifiques à l'échantillon, telles que les entrées et les sorties de la simulation \gls{cfd}. L'ensemble de ces fichiers pèsent environ 60 \gls{go} et sont stockés dans un dossier spécifique read-only sur le cluster de calcul de Safran.

% TODO: rajouter la liste exhaustive de **tous** les champs phyisques
% TODO: mettre ici un plot de la distribution des données (perfs + positions et autres)

Cet ensemble de données peut être séparé en deux sous-ensembles : un ensemble d'apprentissage de 1000 échantillons (83\% des données) et un ensemble de validation de 200 échantillons (17\% des données). L'ensemble d'apprentissage est utilisé pour entraîner les modèles génératifs, tandis que l'ensemble de validation est utilisé pour évaluer les performances des modèles génératifs.

Afin de simplifier le chargement des données, j'ai choisi d'utiliser la bibliothèque HuggingFace Datasets~\cite{lhoest-etal-2021-datasets}. Cette bibliothèque se distingue par son utilisation innovante de la technologie Apache Arrow~\cite{arrow} pour stocker les données de manière tabulaire en colonnes, permettant des lectures sans copie (zero copy reads) ainsi que des opérations de mapping efficaces prenant en charge le multi-threading. Grâce à une approche de chargement paresseux (lazy loading), elle évite les problèmes de mémoire et assure la reproductibilité en sauvegardant en cache les transformations intermédiaires des données.

En complément de Rotor37\_1200, j'ai également travaillé sur un ensemble de données plus grand appelé Rotor37\_11000, qui contient 11000 échantillons. Cet ensemble de données a été créé via le même processus d'optimisation que Rotor37\_1200, cepandant les déformations qu'il contient sont d'un ordre de grandeur plus élevé.

% TODO: insérer viz rotor37_11000

% parler de la simulation full, qui comporte plusieurs millions de points, ainsi que la nacelle ?

\FloatBarrier
\section{Description de l'environnement de travail}

L'équipe de mes tuteurs est basée à Châteaufort, sur le plateau de Saclay, où se trouve le site de l'entreprise. J'ai réussi à trouver un logement dans le nord de Palaiseau, à environ 40 minutes de trajet en bus. En moyenne, le nombre d'employés présents sur le site s'élève à environ 500 personnes.

Les locaux de l'entreprise se présentent sous la forme de vastes openspaces, partagés par un maximum d'une dizaine de personnes. Ils sont séparés par de grandes baies vitrées et répartis dans 3 bâtiments sur plusieurs étages. Les bureaux sont spacieux équipés d'au moins un grand écran, d'un clavier et d'une souris. Nous disposons également de salles de réunion, de salles de détente et d'une salle de sport.

Chaque employé dispose d'une station de travail sous la forme d'un ordinateur portable, connecté à un dock sur le bureau. Afin de réaliser des calculs intensifs, nous avons la possibilité de nous connecter au cluster de calcul local, appelé Rosetta, utilisant le système slurm. Ce cluster est composé d'environ 3000 cœurs CPU, 50 GPU et dispose de plusieurs téraoctets de RAM et de stockage disque. Pour le développement de nos projets, nous exploitons la forge interne de Safran, qui est une plateforme GitLab dédiée.
En outre, chaque employé a accès à la suite professionnelle Office 365, qui facilite la gestion des documents et des e-mails. Pour communiquer, pour les visioconférences nous utilisons principalement Microsoft Teams, qui permet de passer des appels audio et vidéo, de partager son écran et de discuter par écrit, pour les échanges rapides nous utilisons la messagerie instantanée chiffrée de bout en bout Citadel.

La stack technique utilisée par l'équipe est basée sur Python, avec des bibliothèques telles que PyTorch, PyTorch Geometric, PyTorch Lightning, NumPy, SciPy, GPy, Matplotlib, Seaborn, Scikit-Learn, etc. Nous utilisons également des outils de gestion d'environnement virtuels Python tels que Conda et Micromamba, ainsi que de l'outils de versionnement git. Le cluster de calcul étant coupé d'internet, nous utilisons un artifcatory pour télécharger les dépendances nécessaire à nos projets.

% TODO: décrire le process de réservation slurm ?

\FloatBarrier
\section{Application de l'état de l'art}

À la suite de ma recherche bibliographique, j'ai consacré du temps à expérimenter diverses implémentations des articles que j'avais identifiés, ainsi qu'à travailler sur mon implémentation finale. Voici la liste des implémentations que j'ai évaluées, les idées que j'ai explorées, mes observations relatives à chaque approche, ainsi que mon résultat final, dans un ordre approximativement chronologique.

\FloatBarrier
\subsection{Test de GraphVAE}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{graphvae-architecture.png}
  \caption{Architecture de GraphVAE}
  \label{fig:graphvae_archi}
\end{figure}

L'une de nos premières initiatives a été de tester des réseaux basés sur les \glspl{vae}. Après avoir lu des articles de recherche sur les \glspl{vae}, j'ai réalisé plusieurs implémentations sur des images pour me refamiliariser avec ces concepts.
Nous avons ensuite étendu ces expérimentations à des architectures spécifiques aux graphes via GraphVae~\cite{simonovsky_graphvae_2018}. Les résultats obtenus étaient encourageants: le réseau était capable de générer des structures, mais la qualité des générations n'était pas exceptionnelle. De plus, nous avons constaté que le réseau était beaucoup trop volumineux par rapport à sa fonctionnalité.

% TODO: insérer ici screen des résultats de graphvae

En effet, dans le contexte des graphes, les opérations de "upsampling" n'existent pas de manière directe. Par conséquent, nous avons rencontré des difficultés lors du passage du vecteur latent (représentant une distribution gaussienne) à une représentation sous forme de graphe (noeuds + connectivité) dans le décodeur du \gls{vae}.

Une première solution simple consistait en l'utilisation de une ou plusieurs couches denses (\glspl{mlp}) pour convertir le vecteur latent en un couple de matrices décrivant les positions et la connectivité des noeuds. Cependant, cette approche posait problème en raison de la taille des graphes que nous manipulions. En effet, avec des graphes de $n=3.10^4$ nœuds, cela impliquait une matrice de connectivité de taille $n^2 = 9.10^8$, ce qui faisait aisaiment exploser la complexité lorsque nous utilisions des couches denses.

Pour donner un ordre de grandeur, si l'on utilisai un espace latent de taille $8$, rien que pour prédire les positions 3D des points dans notre maillage (sans prendre en compte la connectivité), l'utilisation d'une seule couche dense impliquait déjà $8 \times 3.10^4 \times 3 = 7,2.10^6$ paramètres. Prédire la connectivité était tout simplement impossible, car il aurait fallu une couche dense avec plus de $8 \times 9.10^8 = 7,2.10^9$ paramètres, ce qui dépassait largement les capacités de calcul de nos ressources GPU.

Une seconde solution consitait à utiliser une architecture plus intelligente, telle que Graph U-Net~\cite{gao_graph_2019}. Cette approche permettait d'éviter l'utilisation de couches denses dans le décodeur grâce à des connexions résiduelles (skip connections). Cependant, ce faisant l'information ne passait pas entièrement par l'espace latent entre le décodeur et l'encodeur. Par conséquent, il était impossible de créer un modèle génératif complet avec cette architecture, puisqu'une partie de l'information pour générer des échantillons était compris dans les skip connections.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{graphunet-architecture.png}
  \caption{Architecture de Graph U-Net}
  \label{fig:graphunet_archi}
\end{figure}

Face aux difficultés rencontrées avec les réseaux basés sur les VAE et les limitations de l'architecture Graph U-Net, nous avons pris la décision de mettre de côté ces approches. Et plus largement puisque la connectivité de nos graphes est "locale" (les noeuds des nos maillages sont connectés à leurs voisins proches dans l'espace), nous avons décidé de nous orienter vers des approches basées uniquement sur les positions des noeuds. En effet, la connectivité d'un nuage de points peut facilement être retrouvé via diverses techniques~\cite{peng_shape_2021,sulzer_deep_2022,andrade-loarca_poissonnet_2023}.

\FloatBarrier
\subsection{Test de PointFlow}

L'approche la plus connue pour utilise des \glspl{nf} sur des nuages de points est PointFlow~\cite{yang_pointflow_2019}. Adapter l'implémentation originale afin d'y intégrer l'utilisation de Rotor37\_1200 s'est avéré être une tâche aisée, entraînant des résultats supérieurs à ceux obtenus par GraphVAE, bien que sans être exceptionnels. La structure du code s'est cependant révélée relativement difficile à manipuler pour toute autre tâche plus complexe (comme souvent avec du code académique).

% TODO: insérer ici résultats

PointFlow a néanmoins apporté une contribution significative à la création d'un dataset de référence pour la génération de nuages de points, qui est actuellement exploité par de multiples articles de recherche. Ce jeu de données repose sur ShapeNet~\cite{shapenet2015}, un ensemble de données dédiée à une variété d'objets en trois dimensions (tels que des avions, des chaises, des voitures, etc.), modifié par Furthest Point Sampling pour contenir uniquement 2048 points par nuages.
De plus, PointFlow a joué un rôle essentiel dans l'implémentation de différentes métriques et distances en CUDA, telles que la \gls{cd}, l'\gls{emd}, et bien d'autres.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{shapenet.png}
  \caption{Exemple de datasets d'objets 3D}
  \label{fig:shapenet}
\end{figure}

Il existe cependant de nombreux autres datasets 3D, tels que ModelNet\cite{wu_3d_2015}, KITTI~\cite{liao_kitti-360_2022}, S3DIS~\cite{armeni_cvpr16} ou encore le récent Objaverse~\cite{deitke_objaverse_2022} et sa version XL~\cite{deitke_objaverse-xl_2023}.

% TODO: parler de rotor37\_1200\_mmd2048

\FloatBarrier
\subsection{Présentation de PointNet}

Dans le contexte de l'apprentissage sur les nuages de points, une architecture standard est PointNet. PointNet est une architecture basée sur des shared \glspl{mlp} (pouvant être envisagés comme des convolutions à noyau 1x1), qui permettent de traiter des nuages de points, indépendemment du nombre de points. Cette architecture présente un intérêt notable du fait de son invariance par permutation, ainsi que de sa résilience face à certaines transformations telles que les rotations et les translations.

Par la suite, une avancée significative du modèle PointNet a conduit à l'émergence de PointNet++, qui est désormais reconnu comme l'architecture de référence dans ce domaine. PointNet++ propose une approche hiérarchique en profondeur qui combine judicieusement des techniques d'échantillonnage (telles que le Furthest Point Sampling) et d'agrégation (comme la recherche des K Nearest Neighbors) appliquées aux points du nuage. Cette approche vise à étendre la portée des opérations locales de manière à englober des champs réceptifs globaux, contribuant ainsi à l'amélioration des performances du réseau.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{pointnet-architecture.jpg}
  \caption{Architecture de PointNet et PointNet++}
  \label{fig:pointnet_archi}
\end{figure}

\FloatBarrier
\subsection{Présentation des \glspl{kpconv}}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{kpconv-architecture.png}
  \caption{Architecture de KP-FCNN et KP-CNN, construit avec des \glspl{kpconv}}
  \label{fig:kpconv_archi}
\end{figure}

Une autre architecture largement reconnue dans le domaine du traitement de nuages de points, présentant des similitudes avec PointNet++, est nommée \gls{kpconv}~\cite{thomas_kpconv_2019}. Cette architecture utilise un échantillonnage basé sur une grille de voxels et des opérations d'agrégation via des \glspl{kpconv}, qui sont des convolutions sur boules. Cette architecture est également très efficace, et surpasse généralement les autres architectures sur les taches de segmentation.

\FloatBarrier
\subsection{Test de KP-FCNN}

Dans notre situation, nous avons la possibilité d'opter pour le réseau KP-FCNN, initialement conçu pour la segmentation, mais pouvant être ajusté pour la prédiction de bruit pour une utilisation dans \gls{ddpm}. À cette fin, nous faisons usage de la bibliothèque easy\_kpconv, implémentant les \glspl{kpconv} et nous permettant de créer un code clair et réutilisable.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{kpfcnn-results.png}
  \caption{Résultats de KP-FCNN sur rotor37\_1200.}
  \label{fig:kpfcnn_results}
\end{figure}

Comme on l'observe dans la figure~\ref{fig:kpfcnn_results}, cette architecture permet de générer des nuages de points en forme d'aube. Cependant, on remarque que les générations sont d'assez mauvaise qualité puisque les nuages de points semblent comporter une part de bruit résiduel importante. Certaines générations ne ressemblent de même pas du tout à des aubes, mais plutôt à des nuages de points aléatoires.
Autre point négatif, le decodeur de KP-FCNN étant composé de \glspl{mlp}, il n'est pas scalable. En effet le réseau actuel comporte environ 4 millions de paramètres, dont une large majorité se situent dans le décodeur.

\FloatBarrier
\subsection{Présentation des \glspl{pvconv}}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{pvconv.png}
  \caption{Architecture d'une \gls{pvconv}}
  \label{fig:pvconv_archi}
\end{figure}

Une seconde alternative aux opérations de convolutions et d'aggregation de PointNet++ sont les \glspl{pvconv}~\cite{liu_point-voxel_2019}. Les \glspl{pvconv} proposent d'utiliser des voxels afin de retomber sur des structures régulières, permettant ainsi d'effectuer efficacement des convolutions classiques en 3D. Par conséquent, une \gls{pvconv} est composée de deux branches distinctes. La première branche, appelée "coarse-grained", transforme les points en voxels, applique des convolutions, puis reconvertit les voxels en points à l'aide d'une interpolation trilinéaire. La seconde branche, nommée "fine-grained", est constituée de shared \glspl{mlp}. Ces deux branches sont ensuite combinées par sommation.

Par conséquent, PVCNN peut être considéré comme l'équivalent de PointNet, tandis que PVCNN++ correspond à PointNet++. Cpendant, ces deux réseau basés sur de \glspl{pvconv} se distinguent par le maintien d'un nombre constant de points dans chaque couche du réseau. Les benchmarks démontrent que PVCNN++ est au moins autant performant que PointNet++, tout en surpassant nettement ce dernier en termes d'efficacité globale. Cependant, il est important de noter que l'implémentation de PVCNN++ est assez complexe et nécessite l'utilisation de plusieurs modules CUDA (les opérations de voxelization et de dévoxelization étant impossible à écrire en PyTorch classique).
Une version légèrement améliorée de gls{pvconv}, appelée gls{spvconv}, a également été développée en utilisant des opérations de convolution éparses. En effet, il a été empiriquement observé que les grilles de voxels sont fréquemment remplies en moyenne à hauteur de 60\%. Cependant, ces améliorations nécessitent l'utilisation de code CUDA très ésotérique.

\FloatBarrier
\subsection{Test de PVD}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{pvd-architecture.png}
  \caption{Architecture de PVD.}
  \label{fig:pvd_archi}
\end{figure}

Le premier papier ayant utilisé une architecture du type PVCNN++ pour la générations de nuages de point est PVD~\cite{zhou_3d_2021}. Ce réseau utilise \gls{ddpm} et travaille directement sur le nuage de points. Si l'on récupère l'implémentation des auteurs et que l'on la modifie pour utiliser rotor37\_37\_mmd2048 on obtient de très bon résultat. Cependant, une bonne partie de la codebase étant basé sur celle de PVCNN++ et de PointFlow, celle-ci est tout aussi difficile à modifier.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{pvd-results.png}
  \caption{Résultats de PVD sur rotor37\_1200.}
  \label{fig:pvd_results}
\end{figure}

Comme on l'observe sur la figure~\ref{fig:pvd_results}, les générations que produisent PVD sont de très bonne qualité. Contrairement à KP-FCNN, les générations ne présentent pas de bruits résiduels. Cependant PVD est un réseau assez lourd, (27,6 millions de paramètres) et nécéssite un entrainement plutot long d'environ 10 heures pour produire de bon résultats.

% TODO: vérif le 10h et le nb de params.

\FloatBarrier
\glsunset{ldm}
\subsection{Test de LION}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{LION.jpg}
  \caption{Architecture de LION~\cite{zeng_lion_2022}}
  \label{fig:lion_archi}
\end{figure}

LION~\cite{zeng_lion_2022} représente l'architecture la plus récente en matière de génération de nuages de points, et constitue une amélioration par rapport à PVD. LION exploite la diffusion latente via un \gls{vae} à deux étages pour comprimer les nuages de points avant d'appliquer le processus de diffusion.
Un premier encodeur transforme le nuage de points en un vecteur latent.
Un deuxième encodeur transforme le nuage de points original, en utilisant le vecteur latent comme conditionnement, afin de générer un nuage de points latent.
Ce nuage de points latent est ensuite décodé pour obtenir une reconstruction du nuage de point original.
Le processus de diffusion a lieu à la fois sur le vecteur latent et sur le nuage de points latent.

% TODO: insérer résultat ?

\FloatBarrier
\subsection{Synthèse des méthodes}

Les résultats précédents montrent que la résolution de notre problème est possible. Cependant une majorité des approche précedente traitent de la génération non conditonnée, ou alors conditionnent sur des classes d'objets via des onehot vectors. Puisque nous souhaitons conditionner via des vecteurs scalaires, et car les implémentations présentée prédemment sont difficile à manipiler, nous avons décidé de développer notre propre implémentation. De plus, de manière générale les modèles présentés précedemment comporte souvent trop de paramètre pour notre problème, qui reste tout de même plus simple en comparaison.

pour essayer d'améliorer les résultats que nous avions obtenus via KP-FCNN, nous avons opté pour une approche par \gls{ldm}. Pour cela il nous fallait choisir un modèle capable de transformer/réduire nos données d'entrée. Nous avons sélectionné dans un premier temps une \gls{pca}. En effet, après analyse, les données de rotor37\_1200 se porte très bien à une compression par \gls{pca}. De plus, il s'agit d'une méthode non paramétrique, ce qui est un avantage car pas besoin d'opti.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{pca_cumsum_1200.png}\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pca_cumsum_11000.png}
  \caption{Somme cumulative des modes de la PCA. Gauche: rotor37\_1200. Droite: rotor37\_11000.}
  \label{fig:pca_cumsum}
\end{figure}

Via cette figure nous en déduisons qu'environ 30 modes permettent de décrire 90\% de l'information contenue dans rotor37\_1200. On remarque cependant que cette compression est moins efficace pour rotor37\_11000, ce qui est normal car les données se ressemblent moins.

%Pour palier à ce problème nous avons essayé de remplacer la PCA par une POD, mais comme nous le verrons par la suite, même si cela permettait une meilleur compression, le calcul de la POD était bien plus couteux et se prétait moins bien aux autres techniques nous allons utiliser.

% travaile sur 1200 dans un premier temps
Nous avons donc choisi de réduire nos données à 30 dimensions via une \gls{pca}. Dans le cas de rotor37\_1200 on passe donc de 30000 points contenant leur positions et leur normales à un vecteur de taille 30. Ce vecteur etant très petit et aussi structuré, nous pouvons nous permettre d'utiliser un simple \gls{mlp} pour prédire le bruit dans le \gls{ddpm}. Le réseau résultat dépasse à peine les 10 000 paramètres, ce qui est très peu comparé aux autres modèles présentés précedemment. Ainsi le réseau est très simple à manipuler et à entrainer. Pour le décodeur nous pouvons donc simplement effectuer l'opération inverse de la PCA pour transformer un vecteure de taille 30 en un nuage de points de taille 30000 (positions + normales).

Après quelques entrainements, on obtient des résultats très satisfasant, comme le montre la figure suivante:

% décrire les résultat.

\FloatBarrier
\glsunset{cfg}
\subsection{Condtionnement par \acrfull{cfg}}

% TODO: rappeller le vecteure de perf, 5 bidules
% TODO: parler de la concatenation des 2 inputs cfd avec les modes pca

Pour conditionner notre processus de diffusion, nous avons choisi d'utiliser la \gls{cfg}, avec une probabilité de 10\% pour le dropout des embeddings. Pour rajouter les embeddings de conditionnement dans notre réseau, nous procédons de la même manière que pour les embeddings de timesteps. La surface de coût du réseau change très peu, et nous somme désormais capable de génerer des aubes non conditionnées ou conditionnées selon un vecteur scalaire de performances. Visuellement les générations sont toujours satifisante, cependant il est impossible de déterminer à l'oeil nu si les aube conditonnées générées respectent bien le conditonnement qu'elles devraient avoir.

\FloatBarrier
\glsunset{gp}
\subsection{Vérification par \acrfull{gp}}

À cet effet nous devons donc trouver un moyen de vérifier les propriétés physiques des aubes et les comparés aux conditionnement. De manière naive nous pourrions simplement passer nos générations dans un simulateur \gls{cfd}, mais cette approche n'est pas envisageable car trop lente.

Une solution est d'entrainer un modèle de regression pour trouver une relation entre nos nuages de points (ou leurs espaces latents) et critèrs de performances. Nous pouvons évidemment faire cela via réseau de neurones, mais nous pouvons aussi opter pour une approche moins paramétrique tel que les \glspl{gp}. Les \glspl{gp} sont ...

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{gp.png}
  \caption{Régression par \gls{gp}}
  \vspace*{-11pt}
  \caption*{Source: doi:10.23915/distill.00017~\cite{görtler2019a}}
  \label{fig:gp_regression}
\end{figure}

Ainsi si l'on entrainer un \gls{gp} sur des couples (nuage de points, critère de performance), on peut ensuite utiliser ce \gls{gp} pour vérifier si nos nuages de points générés sont corrects. En effet, si l'on génère un nuage de points, et que l'on obtient un critère de performance très différent de celui attendu, alors on peut en déduire que notre génération est incorrecte.

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=1\textwidth]{gp_train_30_pca.png}
  \caption{Entrainement d'un \gls{gp} sur 30 modes PCA de rotor37\_1200}
\end{figure}

% \begin{figure}[h!]
%   \centering
%   \includegraphics[width=1\textwidth]{gp_train_32_pod.png}
%   \caption{Entrainement d'un \gls{gp} sur 32 modes POD de rotor37\_1200}
% \end{figure}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=1\textwidth]{gp_massflow_1_pca.png}
  \caption{Vérification du conditionnement (out\_massflow=1) par \gls{gp}}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=1\textwidth]{gp_efficiency_1_pca.png}
  \caption{Vérification du conditionnement (isentropy\_efficiency=1) par \gls{gp}}
\end{figure}

Comme on l'observe sur les figures, on observe très clairement un changement de la densité de probabilité des modes \glspl{pca} lorsque l'on conditionne nos générations. on en déduit que notre modèle est capable de générer correctement des données conditionnées. On observer de même sa capacité à générer certaines données out of distribution, du moment que celle-ci ne sont pas trop éloignées de la distribution d'entrainement. Par example il est totalement impossible de demander la génération d'aubes ayant un in\_massflow et out\_massflow différents, car cela n'existe pas dans le jeu de données d'entrainement, et car cela est aussi impossible physiquement dans un système fermé.

\FloatBarrier
\chapter{Conclusion}

% conclusion, présenter résultats, adéquation objectifs, enirchessiement personnel, connaissance techniques et rapport humain.

"Et éventuellement de proposer des améliorations spécifiques aux maillages utilisés en simulations numériques." en intro -> réduire la taille des maillages, ça serait bien. même si j'imagine que pas trop possible car les ingé des aubes veullent une très grande résolution dans leurs simu, même sur des surfaces plutôt planes, qui pourraient être représentées par moins de points.

🎉

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\appendix

% TODO: faire une annexe avec une chié de formules

%% ajouter les annexes ici

\backmatter

\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliographie}
\bibliography{zotero,others,softs}
\bibliographystyle{plainnat}

\end{document}
