-Laurent Fainsin — -Damien Guillotin +Laurent Fainsin — +Damien Guillotin
## Description @@ -41,20 +41,33 @@ Puisque la caméra dans Minecraft ne permet pas de rotation "row", nous avons di ### Avantages / Inconvénients +Grace a cette méthode, nous pouvons interpolé des points tout en gardant le contrôle sur la courbe. On arrive donc à obtenir une courbe très maléable tout en restant stable. Parcontre, le placement des points de contrôle peut devenir assez long si l'on souhaite obtenir une trajectoire très precise étant donné qu'il y a quatre points à gérer par segment. - +Un autre point positif de cette construction est que nous avons le choix de positionner les points (grâce a une commande) de sorte que la courbe soit $C^1$. ### Démonstrations mathématiques +Les polynomes de Bernstein sont definit comme étant : + $\displaystyle B_k^n(t) = \binom{n}{k} t^k (1 - t)^{n-k}$ +Le $i^{ème}$ tronçon de courbe est alors définit par : + $\displaystyle S_i(t) = \sum_{k=0}^{n} P_i^k\ B_k^n(t)$ -$\displaystyle S_i'(t) = n \sum_{k=0}^{n - 1} (P_i^{k + 1} - P_i^k)\ B_k^{n - 1}(t)$ +Pour garder le caractère $C^1$ de la courbe, il faut donc que la dérivé en $1$ du $i^{ème}$ tronçon soit égale à la dérivé en $0$ du $i^{ème}+1$. +Soit, $\displaystyle S_i'(1) = S_{i + 1}'(0)$ +avec, +$\displaystyle S_i'(t) = n \sum_{k=0}^{n - 1} (P_i^{k + 1} - P_i^k)\ B_k^{n - 1}(t)$ + +Ce qui fait : + $\displaystyle n (P_i^{n} - P_i^{n - 1}) = n (P_{i + 1}^{1} - P_{i + 1}^{0})$ +Le résultat $\displaystyle P_i^{n} - P_i^{n - 1} = P_{i + 1}^{1} - P_{i + 1}^{0}$ se traduit géométriquement par l'alignement et l'équidistance des points de contrôle à l'ancre à la qu'elle ils sont ratachés. + ## Démonstrations