ENSEEIHT/TP-optimisation-numerique-2
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Update Algorithme_de_newton.md

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docs/src/Algorithme_de_newton.md
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@ -8,12 +8,12 @@ La fonction ``f`` étant ``C^{2}`` , on peut remplacer ``f`` au voisinage de l
On choisit alors comme point ``x_{k+1}`` le minimum de la quadratique q lorsqu’il existe et On choisit alors comme point ``x_{k+1}`` le minimum de la quadratique q lorsqu’il existe et
est unique, ce qui n’est le cas que si ``\nabla^{2} f (x)`` est définie positive. Or le minimum de q est est unique, ce qui n’est le cas que si ``\nabla^{2} f (x)`` est définie positive. Or le minimum de q est
réalisé par ``x_{k+1}`` solution de : ``\nabla^{2} f (x_{k+1}) = 0`` , soit : réalisé par ``x_{k+1}`` solution de : ``\nabla q (x_{k+1}) = 0`` , soit :
``\nabla f\left(x_{k}\right)+\nabla^{2} f\left(x_{k}\right)\left(x_{k+1}-x_{k}\right)=0`` ``\nabla f\left(x_{k}\right)+\nabla^{2} f\left(x_{k}\right)\left(x_{k+1}-x_{k}\right)=0,``
ou encore, en supposant que ``\nabla^{2} f (x_{k})`` est définie positive : ou encore, en supposant que ``\nabla^{2} f (x_{k})`` est définie positive :
``x_{k+1}=x_{k}-\nabla^{2} f\left(x_{k}\right)^{-1} \nabla f\left(x_{k}\right)`` ``x_{k+1}=x_{k}-\nabla^{2} f\left(x_{k}\right)^{-1} \nabla f\left(x_{k}\right).``
La méthode ne doit cependant jamais être appliquée en utilisant une inversion de la La méthode ne doit cependant jamais être appliquée en utilisant une inversion de la
matrice Hessienne (qui peut être de très grande taille et mal conditionnée), mais plutôt en utilisant : matrice Hessienne (qui peut être de très grande taille et mal conditionnée), mais plutôt en utilisant :
@ -34,14 +34,14 @@ est définie positive (par continuité de ``\nabla^{2} f``).
#### Données: #### Données:
f , ``x_{0}`` première approximation de la solution cherchée, ``\epsilon > 0`` précision demandée. ``f , x_{0}`` première approximation de la solution cherchée, ``\epsilon > 0`` précision demandée.
#### Sorties #### Sorties
une approximation de la solution du problème ``\min _{x \in \mathbb{R}^{m}} f(x)`` . une approximation de la solution du problème ``\min _{x \in \mathbb{R}^{n}} f(x)`` .
#### 1.Tant que le test de convergence est non satisfait #### 1.Tant que le test de convergence est non satisfait
a. Calculer d k solution du système : ``\nabla^{2} f (x_{k}) d_{k} = - \nabla f (x_{k})`` a. Calculer ``d_k`` solution du système : ``\nabla^{2} f (x_{k}) d_{k} = - \nabla f (x_{k})``
b. Mise à jour : ``x_{k+1} = x_{k}+ d_{k} , k = k + 1`` b. Mise à jour : ``x_{k+1} = x_{k}+ d_{k} , k = k + 1``
#### 2.Retourner : ``x_{k}``. #### 2.Retourner : ``x_{k}``.