Sujet TP-Projet Optimisation numérique 2A-ENSEEIHT
La première partie de ce TP-projet concerne les problèmes d’optimisation sans contraintes. On étudie la méthode de Newton et sa globalisation par l’algorithme des régions de confiance. La résolution du sous-problème des régions de confiance sera réalisée de deux façons, soit à l’aide du point de Cauchy, soit par l’algorithme du Gra- dient Conjugué Tronqué. La seconde partie du projet exploite la partie précédente pour résoudre des problèmes d’optimisation avec contraintes par l’algorithme du Lagrangien augmenté.
Optimisation sans contraintes
Dans cette partie, on s’intéresse à la résolution du problème
$\min _{x \in \mathbb{R}^{n}} f(x)$
où la fonction $f$ est de classe $C^{2}$ sur $R^{n}$ . On cherche donc à exploiter l’information fournie par ses dérivées première et seconde, que l’on représente en tout point x par le vecteur gradient $\nabla f (x) \in R^{n}$ et la matrice Hessienne $\nabla^{2} f (x) \in R^{n\times n}$.
2) La méthode des régions de confiance
Optimisation avec contraintes
Dans cette partie, nous nous intéressons à la résolution des problèmes sous contraintes. Le problème se présente donc sous la forme suivante :
$\min _{x \in \mathbb{R}^{n}} f(x)$ sous la contrainte $x \in C$
où C est un sous-ensemble non vide de $\mathbb{R}^{n}$.