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Principe
La méthode du lagrangien augmenté appartient à une classe d'algorithme qui permettent la résolution des problèmes avec contraintes. Elle s'apparente aux méthodes de pénalisation, dans lesquelles on résout le problème avec contraintes à travers une suite de problèmes sans contraintes.
Algorithme du Lagrangien augmenté pour contraintes d'égalité
On s'intéresse ici au cas où l'ensemble C est défini par un ensemble des contraintes d'égalités.
Le problème se met ainsi sous la forme :
\min _{c(x) = 0; x \in \mathbb{R}^{n}} f(x)
où c : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}.
L'algorithme suivant est obtenu de Bierlaire, Introduction à l'optimisation différentiable.
Données :
\mu_{0} > 0, \tau > 0, \hat{\eta}_{0}=0.1258925[^1] , \alpha=0.1, \beta=0.9, \epsilon_{0}=1/\mu_{0}, \eta_{0}=\hat{\eta}_{0} / \mu_{0}^{\alpha} , et un point de départ du Lagrangien (x_{0},\lambda_{0}). On pose k = 0
Sorties :
une approximation de la solution du problème avec contraintes.
1. Tant qu'il n'y a pas convergence, répéter
a. Calculer approximation un minimiseur x_{k+1} du problème sans contraintes suivant :
\min _{x \in \mathbb{R}^{n}} L_{A}\left(x, \lambda_{k}, \mu_{k}\right)=f(x)+\lambda_{k}^{T} c(x)+\frac{\mu_{k}}{2}\|c(x)\|^{2},
avec x_{k} comme point de départ, en terminant lorsque \| \nabla_{x} L_{A}\left(x, \lambda_{k}, \mu_{k}\right) \| \leq \epsilon_{k}.
Si convergence de l'algorithme global, s'arrêter , sinon aller en b
b. Si \|c(x_{k+1})\| \leq \eta_{k}, mettre à jour (entre autres) les multiplicateurs :
\left\{\begin{array}{l}\lambda_{k+1}=\lambda_{k}+\mu_{k} c\left(x_{k+1}\right) \\ \mu_{k+1}=\mu_{k} \\\epsilon_{k+1}=\epsilon_{k} / \mu_{k} \\\eta_{k+1}=\eta_{k} / \mu_{k}^{\beta} \\k=k+1\end{array}\right.
c. Autrement, mettre à jour (entre autres) le paramétre de pénalité :
\left\{\begin{array}{l}\lambda_{k+1} =\lambda_{k} \\\mu_{k+1} =\tau \mu_{k} \\\epsilon_{k+1} =\epsilon_{0} / \mu_{k+1} \\\eta_{k+1} =\hat{\eta}_{0} / \mu_{k+1}^{\alpha} \\k=k+1\end{array}\right.
2. Retourner x_{k},\lambda_{k},\mu_{k} .
3 Critère de convergence global
(\| \nabla_{x} L_{A}\left(x_x, \lambda_{k}, 0 \right) \|\leq max(Tol\_rel\| \nabla_{x} L_{A}\left(x_0, \lambda_{0}, 0\right) \|,Tol\_abs)) et (\|c(x_k)\|\leq max(Tol\_rel\|c(x_0)\|,Tol\_abs))
[^1] : Pour que \eta_0=0.1.