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\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[
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top=1.5cm,
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]{geometry}
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\setlength{\parskip}{0.2cm}
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\begin{document}
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=5cm]{inp_n7.png}
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\end{figure}
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\title{
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\textbf{Compte-rendu de TP} \\
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Introduction aux communications numériques \\
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Étude de l’interférence entre symbole et du critère de Nyquist
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\author{Laurent Fainsin}
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\date{
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Département Sciences du Numérique \\
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Première année \\
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2020 — 2021
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\maketitle
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\newpage
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\tableofcontents
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\newpage
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\section{Étude sans canal de propagation: bloc modulateur/démodulateur}
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\subsection{Expliquez comment sont obtenus les instants optimaux d’échantillonnage}
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Pour sélectionner l'instant initial $n_0$ optimal à l'échantillonage, on cherche à vérifier la condition de Nyquist. Pour cela on peut tracer $g$ ou le diagramme de l'oeil du signal.
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\begin{figure}[ht!]
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\hspace{-1cm}
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\begin{tabular}{cc}
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\includegraphics[width=9.5cm]{g_1_1_trim.png} &
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\includegraphics[width=9.5cm]{oeil_1_1_trim.png} \\
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\end{tabular}
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\caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 1 \label{fig : 1_1}}
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\end{figure}
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Ainsi, grâce à ces tracés, on remarque que pour vérifier la condition de Nyquist avec une chaine dont la réponse impulsionnelle est
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rectangulaire (et sans canal de propagation), il faut $n_0 = 8$.
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On cherche plus particulièrement l'instant $n_0$ tel que : \\
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$\left\{
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\begin{array}{l}
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g(n_0) \neq 0 \\
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g(n_0 + kN_S) = 0
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\end{array}
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\right.$, $n_0 = 8$ est donc conforme à cet instant.
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De même sur le diagramme de l'oeil cette vérification s'effectue par la recherche d'un $n_0$ tel que le tracé converge vers deux valeurs uniques (puisque ici nous avons un signal binaire).
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\begin{figure}[ht!]
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\hspace{-1cm}
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\begin{tabular}{cc}
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\includegraphics[width=9.5cm]{g_2_1_trim.png} &
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\includegraphics[width=9.5cm]{oeil_2_1_trim.png} \\
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\end{tabular}
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\caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 2 \label{fig : 2_1}}
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\end{figure}
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Ainsi pour la chaine avec une réponse impulsionnelle
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en racine de cosinus surélevé de roll off $\alpha = 0.5$, il faut $n_0 = 1$.
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\subsection{Expliquez pourquoi le taux d’erreur binaire n’est plus nul avec $n_0 = 3$}
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Si on ne sélectionne pas l'instant optimal trouvé via la question précédente, alors il y a lors de l'échantillonage des interférences inter-symboles qui viennent fausser la phase de décision (puisque la condition de Nyquist n'est pas respectée).
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\newpage
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\section{Étude avec canal de propagation sans bruit}
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\subsection{Le critère de Nyquist peut-il être vérifié avec BW = 4000 Hz ?}
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\subsubsection{Chaine 1}
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{tabular}{cc}
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\includegraphics[width=9.5cm]{g_1_2_4000_trim.png} &
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\includegraphics[width=9.5cm]{oeil_1_2_4000_trim.png} \\
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\end{tabular}
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\caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 1 \label{fig : 1_2_1000}}
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\end{figure}
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\begin{figure}[ht!]
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%\hspace{-1cm}
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\centering
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\includegraphics[width=9.5cm]{nyquist_1_2_4000_trim.png}
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\caption{Vérification de Nyquist fréquentiel pour la chaine 1 \label{fig : nyquist_1_4000}}
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\end{figure}
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On vérife dans un premier temps que l'instant optimal existe, celui-ci est toujours $n_0 = 8$.
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Le critère de Nyquist en fréquentiel est: \\
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$\displaystyle \sum_k^{+\infty} G^{(t_0)}(f - \frac{k}{T_S}) = Cte$
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On sait d'après le cours qu'une telle somme de racine de cosinus surélevé est constante, de plus grâce à la Figure \ref{fig : nyquist_1_4000} on observe que le spectre de $| H H_r |$ est "inclus" (pas totalement mais presque) dans celui de $| H_c |$, on en déduit alors que le critère de Nyquist en fréquentiel est vérifié.
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\subsubsection{Chaine 2}
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\begin{figure}[ht!]
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\hspace{-1cm}
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\begin{tabular}{cc}
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\includegraphics[width=9.5cm]{g_2_2_4000_trim.png} &
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\includegraphics[width=9.5cm]{oeil_2_2_4000_trim.png} \\
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\end{tabular}
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\caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 2 \label{fig : 2_2_4000}}
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\end{figure}
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\begin{figure}[ht!]
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%\hspace{-1cm}
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\centering
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\includegraphics[width=9.5cm]{nyquist_2_2_4000_trim.png}
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\caption{Vérification de Nyquist fréquentiel pour la chaine 2 \label{fig : nyquist_2_4000}}
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\end{figure}
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On vérife dans un premier temps que l'instant optimal est toujours $n_0 = 1$.
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Ensuite, on observe grâce à la Figure \ref{fig : nyquist_2_4000} que le spectre de $| H H_r |$ est inclus dans celui de $| H_c |$, on en déduit alors que le critère de Nyquist en fréquentiel est vérifié.
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\subsection{Le critère de Nyquist peut-il être vérifié avec BW = 1000 Hz ?}
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\subsubsection{Chaine 1}
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{tabular}{cc}
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\includegraphics[width=9.5cm]{g_1_2_1000_trim.png} &
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\includegraphics[width=9.5cm]{oeil_1_2_1000_trim.png} \\
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\end{tabular}
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\caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 1 \label{fig : 1_2_1000}}
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\end{figure}
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\begin{figure}[ht!]
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\centering
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\includegraphics[width=9.5cm]{nyquist_1_2_1000_trim.png}
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\caption{Vérification de Nyquist fréquentiel pour la chaine 1 \label{fig : nyquist_1_1000}}
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\end{figure}
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Cette fois ci on observe avec le diagramme de l'oeil de la Figure \ref{fig : 1_2_1000} qu'il est impossible de trouver un $n_0$ tel que la condition temporelle de Nyquist soit vérifiée.
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De même si l'on observe les spectres Figure \ref{fig : nyquist_1_1000}, on remarque que la condition de Nyquist en fréquentiel n'est pas respectée car le spectre de $| H H_r |$ n'est pas inclus dans celui de $| H_c |$.
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\subsubsection{Chaine 2}
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\begin{figure}[ht!]
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\includegraphics[width=9.5cm]{g_2_2_1000_trim.png} &
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\includegraphics[width=9.5cm]{oeil_2_2_1000_trim.png} \\
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\end{tabular}
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\caption{Vérification de $n_0$ pour la chaine 2 \label{fig : 2_2_1000}}
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\end{figure}
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\begin{figure}[ht!]
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%\hspace{-1cm}
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\centering
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\includegraphics[width=9.5cm]{nyquist_2_2_1000_trim.png}
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\caption{Vérification de Nyquist fréquentiel pour la chaine 2 \label{fig : nyquist_2_1000}}
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\end{figure}
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Cette fois ci on observe avec le diagramme de l'oeil de la Figure \ref{fig : 2_2_1000} qu'il est impossible de trouver un $n_0$ tel que la condition temporelle de Nyquist soit vérifiée.
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De même si l'on observe les spectres Figure \ref{fig : nyquist_2_1000}, on remarque que la condition de Nyquist en fréquentiel n'est pas respectée car le spectre de $| H H_r |$ n'est pas inclus dans celui de $| H_c |$.
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